Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75301 / 55653
↖ ↑ ↗
← N 26.182554°
E 26.820373°		 ← 274.09 m → N 26.182554°
E 26.823120°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 26.180089°
E 26.820373°		 ← 274.09 m →
75 123 m²		 N 26.180089°
E 26.823120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574504852294922 y=0.424602508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574504852294922 × 217)
    floor (0.574504852294922 × 131072)
    floor (75301.5)     		tx = 75301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424602508544922 × 217)
    floor (0.424602508544922 × 131072)
    floor (55653.5)     		ty = 55653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75301 / 55653 ti = "17/75301/55653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75301/55653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75301 ÷ 217
    75301 ÷ 131072     		x = 0.574501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55653 ÷ 217
    55653 ÷ 131072     		y = 0.424598693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574501037597656 × 2 - 1) × π
    0.149002075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46810382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424598693847656 × 2 - 1) × π
    0.150802612304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.473760378945015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46810382} λ = 0.46810382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473760378945015))-π/2
    2×atan(1.60602210420535)-π/2
    2×1.01388404608471-π/2
    2.02776809216943-1.57079632675     		φ = 0.45697177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46810382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.820373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45697177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.182554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75301 KachelY 55653 0.46810382 0.45697177 26.820373 26.182554
    Oben rechts KachelX + 1 75302 KachelY 55653 0.46815176 0.45697177 26.823120 26.182554
    Unten links KachelX 75301 KachelY + 1 55654 0.46810382 0.45692875 26.820373 26.180089
    Unten rechts KachelX + 1 75302 KachelY + 1 55654 0.46815176 0.45692875 26.823120 26.180089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45697177-0.45692875) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dl = 274.08042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45697177-0.45692875) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dr = 274.08042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46810382-0.46815176) × cos(0.45697177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897392763969954 × 6371000     		do = 274.086849005989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46810382-0.46815176) × cos(0.45692875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897411744966958 × 6371000     		du = 274.092646291045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45697177)-sin(0.45692875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897392763969954-0.897411744966958)×R²
    abs(0.46815176-0.46810382)×1.89809970033705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89809970033705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89809970033705e-05×40589641000000     		ar = 75122.6331647891m²