Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75301 / 55646
↖ ↑ ↗
← N 26.199806°
E 26.820373°		 ← 274.05 m → N 26.199806°
E 26.823120°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.197341°
E 26.820373°		 ← 274.05 m →
75 094 m²		 N 26.197341°
E 26.823120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574504852294922 y=0.424549102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574504852294922 × 217)
    floor (0.574504852294922 × 131072)
    floor (75301.5)     		tx = 75301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424549102783203 × 217)
    floor (0.424549102783203 × 131072)
    floor (55646.5)     		ty = 55646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75301 / 55646 ti = "17/75301/55646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75301/55646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75301 ÷ 217
    75301 ÷ 131072     		x = 0.574501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55646 ÷ 217
    55646 ÷ 131072     		y = 0.424545288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574501037597656 × 2 - 1) × π
    0.149002075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46810382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424545288085938 × 2 - 1) × π
    0.150909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.474095937242355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46810382} λ = 0.46810382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474095937242355))-π/2
    2×atan(1.60656110867678)-π/2
    2×1.01403459873111-π/2
    2.02806919746222-1.57079632675     		φ = 0.45727287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46810382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.820373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45727287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.199806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75301 KachelY 55646 0.46810382 0.45727287 26.820373 26.199806
    Oben rechts KachelX + 1 75302 KachelY 55646 0.46815176 0.45727287 26.823120 26.199806
    Unten links KachelX 75301 KachelY + 1 55647 0.46810382 0.45722986 26.820373 26.197341
    Unten rechts KachelX + 1 75302 KachelY + 1 55647 0.46815176 0.45722986 26.823120 26.197341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45727287-0.45722986) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45727287-0.45722986) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46810382-0.46815176) × cos(0.45727287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897259868149965 × 6371000     		do = 274.046259201826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46810382-0.46815176) × cos(0.45722986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897278856355806 × 6371000     		du = 274.052058688646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45727287)-sin(0.45722986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897259868149965-0.897278856355806)×R²
    abs(0.46815176-0.46810382)×1.89882058410085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89882058410085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89882058410085e-05×40589641000000     		ar = 75094.0489240605m²