Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7530 / 7514
↖ ↑ ↗
← S 81.685144°
E150.908203°		 ← 706.65 m → S 81.685144°
E150.952148°		 →
↑
706.42 m
↓
↑
706.42 m
↓
S 81.691497°
E150.908203°		 ← 706.11 m →
498 999 m²		 S 81.691497°
E150.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91925048828125 y=0.91729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91925048828125 × 213)
    floor (0.91925048828125 × 8192)
    floor (7530.5)     		tx = 7530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91729736328125 × 213)
    floor (0.91729736328125 × 8192)
    floor (7514.5)     		ty = 7514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7530 / 7514 ti = "13/7530/7514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7530/7514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7530 ÷ 213
    7530 ÷ 8192     		x = 0.919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7514 ÷ 213
    7514 ÷ 8192     		y = 0.917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919189453125 × 2 - 1) × π
    0.83837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63384501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.83447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62157316642163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63384501} λ = 2.63384501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62157316642163))-π/2
    2×atan(0.072688421849191)-π/2
    2×0.0725608071548753-π/2
    0.145121614309751-1.57079632675     		φ = -1.42567471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63384501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42567471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.685144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7530 KachelY 7514 2.63384501 -1.42567471 150.908203 -81.685144
    Oben rechts KachelX + 1 7531 KachelY 7514 2.63461200 -1.42567471 150.952148 -81.685144
    Unten links KachelX 7530 KachelY + 1 7515 2.63384501 -1.42578559 150.908203 -81.691497
    Unten rechts KachelX + 1 7531 KachelY + 1 7515 2.63461200 -1.42578559 150.952148 -81.691497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42567471--1.42578559) × R
    0.000110880000000035 × 6371000     		dl = 706.416480000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42567471--1.42578559) × R
    0.000110880000000035 × 6371000     		dr = 706.416480000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63384501-2.63461200) × cos(-1.42567471) × R
    0.000766990000000245 × 0.144612769178465 × 6371000     		do = 706.649326239114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63384501-2.63461200) × cos(-1.42578559) × R
    0.000766990000000245 × 0.144503053824158 × 6371000     		du = 706.113202896483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42567471)-sin(-1.42578559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144612769178465-0.144503053824158)×R²
    abs(2.63461200-2.63384501)×0.000109715354307094×R²
    0.000766990000000245×0.000109715354307094×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109715354307094×40589641000000     		ar = 498999.366962772m²