Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7530 / 5010
↖ ↑ ↗
← N 57.112385°
W 14.545898°		 ← 1 326.65 m → N 57.112385°
W 14.523926°		 →
↑
1 326.89 m
↓
↑
1 326.89 m
↓
N 57.100452°
W 14.545898°		 ← 1 327.08 m →
1 760 598 m²		 N 57.100452°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459625244140625 y=0.305816650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459625244140625 × 214)
    floor (0.459625244140625 × 16384)
    floor (7530.5)     		tx = 7530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305816650390625 × 214)
    floor (0.305816650390625 × 16384)
    floor (5010.5)     		ty = 5010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7530 / 5010 ti = "14/7530/5010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7530/5010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7530 ÷ 214
    7530 ÷ 16384     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5010 ÷ 214
    5010 ÷ 16384     		y = 0.3057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    0.388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22028171672815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22028171672815))-π/2
    2×atan(3.38814209549082)-π/2
    2×1.28379774441553-π/2
    2.56759548883105-1.57079632675     		φ = 0.99679916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99679916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.112385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7530 KachelY 5010 -0.25387382 0.99679916 -14.545898 57.112385
    Oben rechts KachelX + 1 7531 KachelY 5010 -0.25349033 0.99679916 -14.523926 57.112385
    Unten links KachelX 7530 KachelY + 1 5011 -0.25387382 0.99659089 -14.545898 57.100452
    Unten rechts KachelX + 1 7531 KachelY + 1 5011 -0.25349033 0.99659089 -14.523926 57.100452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99679916-0.99659089) × R
    0.00020827000000001 × 6371000     		dl = 1326.88817000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99679916-0.99659089) × R
    0.00020827000000001 × 6371000     		dr = 1326.88817000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25349033) × cos(0.99679916) × R
    0.000383489999999986 × 0.542992947458015 × 6371000     		do = 1326.64840009507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25349033) × cos(0.99659089) × R
    0.000383489999999986 × 0.543167827758507 × 6371000     		du = 1327.07567023171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99679916)-sin(0.99659089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542992947458015-0.543167827758507)×R²
    abs(-0.25349033--0.25387382)×0.000174880300492175×R²
    0.000383489999999986×0.000174880300492175×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174880300492175×40589641000000     		ar = 1760597.54404511m²