Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7530 / 3840
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
W 14.545898°		 ← 889.23 m → N 68.656555°
W 14.523926°		 →
↑
889.39 m
↓
↑
889.39 m
↓
N 68.648557°
W 14.545898°		 ← 889.54 m →
791 012 m²		 N 68.648557°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459625244140625 y=0.234405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459625244140625 × 214)
    floor (0.459625244140625 × 16384)
    floor (7530.5)     		tx = 7530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234405517578125 × 214)
    floor (0.234405517578125 × 16384)
    floor (3840.5)     		ty = 3840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7530 / 3840 ti = "14/7530/3840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7530/3840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7530 ÷ 214
    7530 ÷ 16384     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3840 ÷ 214
    3840 ÷ 16384     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7530 KachelY 3840 -0.25387382 1.19828294 -14.545898 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 7531 KachelY 3840 -0.25349033 1.19828294 -14.523926 68.656555
    Unten links KachelX 7530 KachelY + 1 3841 -0.25387382 1.19814334 -14.545898 68.648557
    Unten rechts KachelX + 1 7531 KachelY + 1 3841 -0.25349033 1.19814334 -14.523926 68.648557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19814334) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dl = 889.391600000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19814334) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dr = 889.391600000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25349033) × cos(1.19828294) × R
    0.000383489999999986 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 889.226558402818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25349033) × cos(1.19814334) × R
    0.000383489999999986 × 0.364087608614637 × 6371000     		du = 889.544230222982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19814334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.364087608614637)×R²
    abs(-0.25349033--0.25387382)×0.00013002206005952×R²
    0.000383489999999986×0.00013002206005952×6371000²
    0.000383489999999986×0.00013002206005952×40589641000000     		ar = 791011.900149723m²