Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75298 / 78115
↖ ↑ ↗
← S 32.627810°
E 26.812134°		 ← 257.23 m → S 32.627810°
E 26.814880°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 32.630123°
E 26.812134°		 ← 257.22 m →
66 157 m²		 S 32.630123°
E 26.814880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574481964111328 y=0.595973968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574481964111328 × 217)
    floor (0.574481964111328 × 131072)
    floor (75298.5)     		tx = 75298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595973968505859 × 217)
    floor (0.595973968505859 × 131072)
    floor (78115.5)     		ty = 78115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75298 / 78115 ti = "17/75298/78115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75298/78115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75298 ÷ 217
    75298 ÷ 131072     		x = 0.574478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78115 ÷ 217
    78115 ÷ 131072     		y = 0.595970153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574478149414062 × 2 - 1) × π
    0.148956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46796001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595970153808594 × 2 - 1) × π
    -0.191940307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.602998260320686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46796001} λ = 0.46796001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602998260320686))-π/2
    2×atan(0.547168620267407)-π/2
    2×0.500666808252673-π/2
    1.00133361650535-1.57079632675     		φ = -0.56946271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46796001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56946271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.627810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75298 KachelY 78115 0.46796001 -0.56946271 26.812134 -32.627810
    Oben rechts KachelX + 1 75299 KachelY 78115 0.46800795 -0.56946271 26.814880 -32.627810
    Unten links KachelX 75298 KachelY + 1 78116 0.46796001 -0.56950308 26.812134 -32.630123
    Unten rechts KachelX + 1 75299 KachelY + 1 78116 0.46800795 -0.56950308 26.814880 -32.630123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56946271--0.56950308) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56946271--0.56950308) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46796001-0.46800795) × cos(-0.56946271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.84219079253157 × 6371000     		do = 257.22674603027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46796001-0.46800795) × cos(-0.56950308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.842169025163804 × 6371000     		du = 257.220097715863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56946271)-sin(-0.56950308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84219079253157-0.842169025163804)×R²
    abs(0.46800795-0.46796001)×2.17673677659347e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17673677659347e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17673677659347e-05×40589641000000     		ar = 66157.1618949403m²