Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75298 / 55718
↖ ↑ ↗
← N 26.022234°
E 26.812134°		 ← 274.46 m → N 26.022234°
E 26.814880°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 26.019766°
E 26.812134°		 ← 274.47 m →
75 331 m²		 N 26.019766°
E 26.814880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574481964111328 y=0.425098419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574481964111328 × 217)
    floor (0.574481964111328 × 131072)
    floor (75298.5)     		tx = 75298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425098419189453 × 217)
    floor (0.425098419189453 × 131072)
    floor (55718.5)     		ty = 55718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75298 / 55718 ti = "17/75298/55718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75298/55718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75298 ÷ 217
    75298 ÷ 131072     		x = 0.574478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55718 ÷ 217
    55718 ÷ 131072     		y = 0.425094604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574478149414062 × 2 - 1) × π
    0.148956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46796001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425094604492188 × 2 - 1) × π
    0.149810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.470644480469711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46796001} λ = 0.46796001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470644480469711))-π/2
    2×atan(1.60102569058079)-π/2
    2×1.01248499401954-π/2
    2.02496998803909-1.57079632675     		φ = 0.45417366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46796001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45417366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.022234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75298 KachelY 55718 0.46796001 0.45417366 26.812134 26.022234
    Oben rechts KachelX + 1 75299 KachelY 55718 0.46800795 0.45417366 26.814880 26.022234
    Unten links KachelX 75298 KachelY + 1 55719 0.46796001 0.45413058 26.812134 26.019766
    Unten rechts KachelX + 1 75299 KachelY + 1 55719 0.46800795 0.45413058 26.814880 26.019766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45417366-0.45413058) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45417366-0.45413058) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46796001-0.46800795) × cos(0.45417366) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898623866742351 × 6371000     		do = 274.462859481582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46796001-0.46800795) × cos(0.45413058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898642765961542 × 6371000     		du = 274.468631789589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45417366)-sin(0.45413058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898623866742351-0.898642765961542)×R²
    abs(0.46800795-0.46796001)×1.8899219191626e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8899219191626e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8899219191626e-05×40589641000000     		ar = 75330.6041269625m²