Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75297 / 55711
↖ ↑ ↗
← N 26.039510°
E 26.809387°		 ← 274.37 m → N 26.039510°
E 26.812134°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
N 26.037042°
E 26.809387°		 ← 274.37 m →
75 286 m²		 N 26.037042°
E 26.812134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574474334716797 y=0.425045013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574474334716797 × 217)
    floor (0.574474334716797 × 131072)
    floor (75297.5)     		tx = 75297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425045013427734 × 217)
    floor (0.425045013427734 × 131072)
    floor (55711.5)     		ty = 55711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75297 / 55711 ti = "17/75297/55711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75297/55711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75297 ÷ 217
    75297 ÷ 131072     		x = 0.574470520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55711 ÷ 217
    55711 ÷ 131072     		y = 0.425041198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574470520019531 × 2 - 1) × π
    0.148941040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46791208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425041198730469 × 2 - 1) × π
    0.149917602539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.470980038767052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46791208} λ = 0.46791208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470980038767052))-π/2
    2×atan(1.60156301818285)-π/2
    2×1.01263575326714-π/2
    2.02527150653427-1.57079632675     		φ = 0.45447518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46791208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.809387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45447518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.039510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75297 KachelY 55711 0.46791208 0.45447518 26.809387 26.039510
    Oben rechts KachelX + 1 75298 KachelY 55711 0.46796001 0.45447518 26.812134 26.039510
    Unten links KachelX 75297 KachelY + 1 55712 0.46791208 0.45443211 26.809387 26.037042
    Unten rechts KachelX + 1 75298 KachelY + 1 55712 0.46796001 0.45443211 26.812134 26.037042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45447518-0.45443211) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dl = 274.398969999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45447518-0.45443211) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dr = 274.398969999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46791208-0.46796001) × cos(0.45447518) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898491543072781 × 6371000     		do = 274.365201530387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46791208-0.46796001) × cos(0.45443211) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898510449574373 × 6371000     		du = 274.370974858093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45447518)-sin(0.45443211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898491543072781-0.898510449574373)×R²
    abs(0.46796001-0.46791208)×1.89065015919754e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89065015919754e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89065015919754e-05×40589641000000     		ar = 75286.3208129214m²