Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75296 / 56864
↖ ↑ ↗
← N 23.160564°
E 26.806641°		 ← 280.81 m → N 23.160564°
E 26.809387°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
N 23.158038°
E 26.806641°		 ← 280.82 m →
78 862 m²		 N 23.158038°
E 26.809387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574466705322266 y=0.433841705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574466705322266 × 217)
    floor (0.574466705322266 × 131072)
    floor (75296.5)     		tx = 75296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433841705322266 × 217)
    floor (0.433841705322266 × 131072)
    floor (56864.5)     		ty = 56864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75296 / 56864 ti = "17/75296/56864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75296/56864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75296 ÷ 217
    75296 ÷ 131072     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56864 ÷ 217
    56864 ÷ 131072     		y = 0.433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.415708793505127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415708793505127))-π/2
    2×atan(1.51544449732832)-π/2
    2×0.987512206571729-π/2
    1.97502441314346-1.57079632675     		φ = 0.40422809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40422809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.160564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75296 KachelY 56864 0.46786414 0.40422809 26.806641 23.160564
    Oben rechts KachelX + 1 75297 KachelY 56864 0.46791208 0.40422809 26.809387 23.160564
    Unten links KachelX 75296 KachelY + 1 56865 0.46786414 0.40418401 26.806641 23.158038
    Unten rechts KachelX + 1 75297 KachelY + 1 56865 0.46791208 0.40418401 26.809387 23.158038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40422809-0.40418401) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40422809-0.40418401) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46791208) × cos(0.40422809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919406270335596 × 6371000     		do = 280.810340478031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46791208) × cos(0.40418401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919423606510964 × 6371000     		du = 280.815635392221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40422809)-sin(0.40418401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919406270335596-0.919423606510964)×R²
    abs(0.46791208-0.46786414)×1.73361753679213e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73361753679213e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73361753679213e-05×40589641000000     		ar = 78861.744806349m²