Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75293 / 78333
↖ ↑ ↗
← S 33.130651°
E 26.798401°		 ← 255.77 m → S 33.130651°
E 26.801148°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
S 33.132951°
E 26.798401°		 ← 255.76 m →
65 408 m²		 S 33.132951°
E 26.801148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574443817138672 y=0.597637176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574443817138672 × 217)
    floor (0.574443817138672 × 131072)
    floor (75293.5)     		tx = 75293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597637176513672 × 217)
    floor (0.597637176513672 × 131072)
    floor (78333.5)     		ty = 78333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75293 / 78333 ti = "17/75293/78333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75293/78333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75293 ÷ 217
    75293 ÷ 131072     		x = 0.574440002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78333 ÷ 217
    78333 ÷ 131072     		y = 0.597633361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574440002441406 × 2 - 1) × π
    0.148880004882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46772033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597633361816406 × 2 - 1) × π
    -0.195266723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.613448504437859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46772033} λ = 0.46772033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613448504437859))-π/2
    2×atan(0.541480348294502)-π/2
    2×0.496278689302516-π/2
    0.992557378605032-1.57079632675     		φ = -0.57823895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46772033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.798401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57823895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.130651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75293 KachelY 78333 0.46772033 -0.57823895 26.798401 -33.130651
    Oben rechts KachelX + 1 75294 KachelY 78333 0.46776827 -0.57823895 26.801148 -33.130651
    Unten links KachelX 75293 KachelY + 1 78334 0.46772033 -0.57827909 26.798401 -33.132951
    Unten rechts KachelX + 1 75294 KachelY + 1 78334 0.46776827 -0.57827909 26.801148 -33.132951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57823895--0.57827909) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57823895--0.57827909) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46772033-0.46776827) × cos(-0.57823895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837426449910971 × 6371000     		do = 255.771593159463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46772033-0.46776827) × cos(-0.57827909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837404510717924 × 6371000     		du = 255.764892365192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57823895)-sin(-0.57827909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837426449910971-0.837404510717924)×R²
    abs(0.46776827-0.46772033)×2.19391930464941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19391930464941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19391930464941e-05×40589641000000     		ar = 65408.10892075m²