Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75293 / 55987
↖ ↑ ↗
← N 25.356436°
E 26.798401°		 ← 276 m → N 25.356436°
E 26.801148°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 25.353955°
E 26.798401°		 ← 276.01 m →
76 157 m²		 N 25.353955°
E 26.801148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574443817138672 y=0.427150726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574443817138672 × 217)
    floor (0.574443817138672 × 131072)
    floor (75293.5)     		tx = 75293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427150726318359 × 217)
    floor (0.427150726318359 × 131072)
    floor (55987.5)     		ty = 55987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75293 / 55987 ti = "17/75293/55987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75293/55987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75293 ÷ 217
    75293 ÷ 131072     		x = 0.574440002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55987 ÷ 217
    55987 ÷ 131072     		y = 0.427146911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574440002441406 × 2 - 1) × π
    0.148880004882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46772033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427146911621094 × 2 - 1) × π
    0.145706176757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.457749454471916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46772033} λ = 0.46772033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457749454471916))-π/2
    2×atan(1.5805129629955)-π/2
    2×1.00667481569472-π/2
    2.01334963138944-1.57079632675     		φ = 0.44255330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46772033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.798401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44255330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.356436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75293 KachelY 55987 0.46772033 0.44255330 26.798401 25.356436
    Oben rechts KachelX + 1 75294 KachelY 55987 0.46776827 0.44255330 26.801148 25.356436
    Unten links KachelX 75293 KachelY + 1 55988 0.46772033 0.44250999 26.798401 25.353955
    Unten rechts KachelX + 1 75294 KachelY + 1 55988 0.46776827 0.44250999 26.801148 25.353955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44255330-0.44250999) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44255330-0.44250999) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46772033-0.46776827) × cos(0.44255330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903661163974842 × 6371000     		do = 276.001379716096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46772033-0.46776827) × cos(0.44250999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903679710555839 × 6371000     		du = 276.007044319322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44255330)-sin(0.44250999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903661163974842-0.903679710555839)×R²
    abs(0.46776827-0.46772033)×1.85465809968699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85465809968699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85465809968699e-05×40589641000000     		ar = 76157.2929855404m²