Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75292 / 78307
↖ ↑ ↗
← S 33.070829°
E 26.795654°		 ← 255.95 m → S 33.070829°
E 26.798401°		 →
↑
255.92 m
↓
↑
255.92 m
↓
S 33.073131°
E 26.795654°		 ← 255.94 m →
65 502 m²		 S 33.073131°
E 26.798401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574436187744141 y=0.597438812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574436187744141 × 217)
    floor (0.574436187744141 × 131072)
    floor (75292.5)     		tx = 75292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597438812255859 × 217)
    floor (0.597438812255859 × 131072)
    floor (78307.5)     		ty = 78307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75292 / 78307 ti = "17/75292/78307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75292/78307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75292 ÷ 217
    75292 ÷ 131072     		x = 0.574432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78307 ÷ 217
    78307 ÷ 131072     		y = 0.597434997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574432373046875 × 2 - 1) × π
    0.14886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46767239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597434997558594 × 2 - 1) × π
    -0.194869995117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.612202145047737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46767239} λ = 0.46767239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612202145047737))-π/2
    2×atan(0.542155648156909)-π/2
    2×0.49680073415573-π/2
    0.99360146831146-1.57079632675     		φ = -0.57719486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46767239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57719486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.070829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75292 KachelY 78307 0.46767239 -0.57719486 26.795654 -33.070829
    Oben rechts KachelX + 1 75293 KachelY 78307 0.46772033 -0.57719486 26.798401 -33.070829
    Unten links KachelX 75292 KachelY + 1 78308 0.46767239 -0.57723503 26.795654 -33.073131
    Unten rechts KachelX + 1 75293 KachelY + 1 78308 0.46772033 -0.57723503 26.798401 -33.073131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57719486--0.57723503) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dl = 255.923070000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57719486--0.57723503) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dr = 255.923070000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46767239-0.46772033) × cos(-0.57719486) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837996640784291 × 6371000     		do = 255.945744129185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46767239-0.46772033) × cos(-0.57723503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837974720327818 × 6371000     		du = 255.939049057545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57719486)-sin(-0.57723503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837996640784291-0.837974720327818)×R²
    abs(0.46772033-0.46767239)×2.19204564734232e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19204564734232e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19204564734232e-05×40589641000000     		ar = 65501.5638881715m²