Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75291 / 78340
↖ ↑ ↗
← S 33.146750°
E 26.792908°		 ← 255.67 m → S 33.146750°
E 26.795654°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.149050°
E 26.792908°		 ← 255.66 m →
65 366 m²		 S 33.149050°
E 26.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574428558349609 y=0.597690582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574428558349609 × 217)
    floor (0.574428558349609 × 131072)
    floor (75291.5)     		tx = 75291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597690582275391 × 217)
    floor (0.597690582275391 × 131072)
    floor (78340.5)     		ty = 78340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75291 / 78340 ti = "17/75291/78340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75291/78340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75291 ÷ 217
    75291 ÷ 131072     		x = 0.574424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78340 ÷ 217
    78340 ÷ 131072     		y = 0.597686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574424743652344 × 2 - 1) × π
    0.148849487304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46762446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.19537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.613784062735199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46762446} λ = 0.46762446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613784062735199))-π/2
    2×atan(0.541298680552548)-π/2
    2×0.496138199490626-π/2
    0.992276398981252-1.57079632675     		φ = -0.57851993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46762446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.792908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57851993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.146750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75291 KachelY 78340 0.46762446 -0.57851993 26.792908 -33.146750
    Oben rechts KachelX + 1 75292 KachelY 78340 0.46767239 -0.57851993 26.795654 -33.146750
    Unten links KachelX 75291 KachelY + 1 78341 0.46762446 -0.57856006 26.792908 -33.149050
    Unten rechts KachelX + 1 75292 KachelY + 1 78341 0.46767239 -0.57856006 26.795654 -33.149050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57851993--0.57856006) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57851993--0.57856006) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(-0.57851993) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837272847226789 × 6371000     		do = 255.671336292913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(-0.57856006) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837250904057977 × 6371000     		du = 255.664635682339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57851993)-sin(-0.57856006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837272847226789-0.837250904057977)×R²
    abs(0.46767239-0.46762446)×2.19431688127658e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19431688127658e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19431688127658e-05×40589641000000     		ar = 65366.1814540059m²