Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75291 / 78306
↖ ↑ ↗
← S 33.068528°
E 26.792908°		 ← 255.90 m → S 33.068528°
E 26.795654°		 →
↑
255.92 m
↓
↑
255.92 m
↓
S 33.070829°
E 26.792908°		 ← 255.89 m →
65 490 m²		 S 33.070829°
E 26.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574428558349609 y=0.597431182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574428558349609 × 217)
    floor (0.574428558349609 × 131072)
    floor (75291.5)     		tx = 75291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597431182861328 × 217)
    floor (0.597431182861328 × 131072)
    floor (78306.5)     		ty = 78306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75291 / 78306 ti = "17/75291/78306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75291/78306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75291 ÷ 217
    75291 ÷ 131072     		x = 0.574424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78306 ÷ 217
    78306 ÷ 131072     		y = 0.597427368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574424743652344 × 2 - 1) × π
    0.148849487304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46762446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597427368164062 × 2 - 1) × π
    -0.194854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.612154208148117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46762446} λ = 0.46762446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612154208148117))-π/2
    2×atan(0.542181638040725)-π/2
    2×0.49682081989887-π/2
    0.993641639797741-1.57079632675     		φ = -0.57715469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46762446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.792908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57715469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.068528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75291 KachelY 78306 0.46762446 -0.57715469 26.792908 -33.068528
    Oben rechts KachelX + 1 75292 KachelY 78306 0.46767239 -0.57715469 26.795654 -33.068528
    Unten links KachelX 75291 KachelY + 1 78307 0.46762446 -0.57719486 26.792908 -33.070829
    Unten rechts KachelX + 1 75292 KachelY + 1 78307 0.46767239 -0.57719486 26.795654 -33.070829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57715469--0.57719486) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dl = 255.923070000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57715469--0.57719486) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dr = 255.923070000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(-0.57715469) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.838018559888549 × 6371000     		do = 255.899048625104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(-0.57719486) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837996640784291 × 6371000     		du = 255.892355362932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57715469)-sin(-0.57719486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838018559888549-0.837996640784291)×R²
    abs(0.46767239-0.46762446)×2.19191042577505e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19191042577505e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19191042577505e-05×40589641000000     		ar = 65489.613662895m²