Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75291 / 56038
↖ ↑ ↗
← N 25.229790°
E 26.792908°		 ← 276.23 m → N 25.229790°
E 26.795654°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
N 25.227305°
E 26.792908°		 ← 276.24 m →
76 327 m²		 N 25.227305°
E 26.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574428558349609 y=0.427539825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574428558349609 × 217)
    floor (0.574428558349609 × 131072)
    floor (75291.5)     		tx = 75291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427539825439453 × 217)
    floor (0.427539825439453 × 131072)
    floor (56038.5)     		ty = 56038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75291 / 56038 ti = "17/75291/56038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75291/56038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75291 ÷ 217
    75291 ÷ 131072     		x = 0.574424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56038 ÷ 217
    56038 ÷ 131072     		y = 0.427536010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574424743652344 × 2 - 1) × π
    0.148849487304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46762446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427536010742188 × 2 - 1) × π
    0.144927978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455304672591293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46762446} λ = 0.46762446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455304672591293))-π/2
    2×atan(1.57665367302481)-π/2
    2×1.00556961091741-π/2
    2.01113922183482-1.57079632675     		φ = 0.44034290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46762446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.792908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44034290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.229790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75291 KachelY 56038 0.46762446 0.44034290 26.792908 25.229790
    Oben rechts KachelX + 1 75292 KachelY 56038 0.46767239 0.44034290 26.795654 25.229790
    Unten links KachelX 75291 KachelY + 1 56039 0.46762446 0.44029953 26.792908 25.227305
    Unten rechts KachelX + 1 75292 KachelY + 1 56039 0.46767239 0.44029953 26.795654 25.227305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44034290-0.44029953) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44034290-0.44029953) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(0.44034290) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.904605555389719 × 6371000     		do = 276.232188742931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46762446-0.46767239) × cos(0.44029953) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.904624040987545 × 6371000     		du = 276.237833542609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44034290)-sin(0.44029953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904605555389719-0.904624040987545)×R²
    abs(0.46767239-0.46762446)×1.84855978262455e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84855978262455e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84855978262455e-05×40589641000000     		ar = 76326.5705242007m²