Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7529 / 7513
↖ ↑ ↗
← S 81.678786°
E150.864258°		 ← 707.19 m → S 81.678786°
E150.908203°		 →
↑
706.93 m
↓
↑
706.93 m
↓
S 81.685144°
E150.864258°		 ← 706.65 m →
499 739 m²		 S 81.685144°
E150.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91912841796875 y=0.91717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91912841796875 × 213)
    floor (0.91912841796875 × 8192)
    floor (7529.5)     		tx = 7529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91717529296875 × 213)
    floor (0.91717529296875 × 8192)
    floor (7513.5)     		ty = 7513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7529 / 7513 ti = "13/7529/7513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7529/7513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7529 ÷ 213
    7529 ÷ 8192     		x = 0.9190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7513 ÷ 213
    7513 ÷ 8192     		y = 0.9171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9190673828125 × 2 - 1) × π
    0.838134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63307802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62080617602771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63307802} λ = 2.63307802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62080617602771))-π/2
    2×atan(0.0727441945563298)-π/2
    2×0.0726162865059723-π/2
    0.145232573011945-1.57079632675     		φ = -1.42556375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63307802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42556375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.678786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7529 KachelY 7513 2.63307802 -1.42556375 150.864258 -81.678786
    Oben rechts KachelX + 1 7530 KachelY 7513 2.63384501 -1.42556375 150.908203 -81.678786
    Unten links KachelX 7529 KachelY + 1 7514 2.63307802 -1.42567471 150.864258 -81.685144
    Unten rechts KachelX + 1 7530 KachelY + 1 7514 2.63384501 -1.42567471 150.908203 -81.685144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42556375--1.42567471) × R
    0.000110959999999993 × 6371000     		dl = 706.926159999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42556375--1.42567471) × R
    0.000110959999999993 × 6371000     		dr = 706.926159999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63307802-2.63384501) × cos(-1.42556375) × R
    0.000766989999999801 × 0.144722561912631 × 6371000     		do = 707.185827697497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63307802-2.63384501) × cos(-1.42567471) × R
    0.000766989999999801 × 0.144612769178465 × 6371000     		du = 706.649326238705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42556375)-sin(-1.42567471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144722561912631-0.144612769178465)×R²
    abs(2.63384501-2.63307802)×0.000109792734165837×R²
    0.000766989999999801×0.000109792734165837×6371000²
    0.000766989999999801×0.000109792734165837×40589641000000     		ar = 499738.528636578m²