Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7529 / 5082
↖ ↑ ↗
← N 56.243350°
W 14.567871°		 ← 1 357.65 m → N 56.243350°
W 14.545898°		 →
↑
1 357.85 m
↓
↑
1 357.85 m
↓
N 56.231139°
W 14.567871°		 ← 1 358.08 m →
1 843 779 m²		 N 56.231139°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459564208984375 y=0.310211181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459564208984375 × 214)
    floor (0.459564208984375 × 16384)
    floor (7529.5)     		tx = 7529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310211181640625 × 214)
    floor (0.310211181640625 × 16384)
    floor (5082.5)     		ty = 5082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7529 / 5082 ti = "14/7529/5082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7529/5082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7529 ÷ 214
    7529 ÷ 16384     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5082 ÷ 214
    5082 ÷ 16384     		y = 0.3101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3101806640625 × 2 - 1) × π
    0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.192670062547))-π/2
    2×atan(3.29586964742495)-π/2
    2×1.27621398265145-π/2
    2.55242796530289-1.57079632675     		φ = 0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7529 KachelY 5082 -0.25425732 0.98163164 -14.567871 56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 7530 KachelY 5082 -0.25387382 0.98163164 -14.545898 56.243350
    Unten links KachelX 7529 KachelY + 1 5083 -0.25425732 0.98141851 -14.567871 56.231139
    Unten rechts KachelX + 1 7530 KachelY + 1 5083 -0.25387382 0.98141851 -14.545898 56.231139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98163164-0.98141851) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dl = 1357.85123000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98163164-0.98141851) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dr = 1357.85123000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(0.98163164) × R
    0.000383500000000037 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 1357.6485823237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(0.98141851) × R
    0.000383500000000037 × 0.555843917924172 × 6371000     		du = 1358.08149402002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98163164)-sin(0.98141851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555843917924172)×R²
    abs(-0.25387382--0.25425732)×0.000177184752507165×R²
    0.000383500000000037×0.000177184752507165×6371000²
    0.000383500000000037×0.000177184752507165×40589641000000     		ar = 1843778.71923588m²