Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7529 / 3842
↖ ↑ ↗
← N 68.640555°
W 14.567871°		 ← 889.89 m → N 68.640555°
W 14.545898°		 →
↑
890.03 m
↓
↑
890.03 m
↓
N 68.632551°
W 14.567871°		 ← 890.20 m →
792 165 m²		 N 68.632551°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459564208984375 y=0.234527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459564208984375 × 214)
    floor (0.459564208984375 × 16384)
    floor (7529.5)     		tx = 7529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234527587890625 × 214)
    floor (0.234527587890625 × 16384)
    floor (3842.5)     		ty = 3842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7529 / 3842 ti = "14/7529/3842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7529/3842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7529 ÷ 214
    7529 ÷ 16384     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3842 ÷ 214
    3842 ÷ 16384     		y = 0.2344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2344970703125 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66820410677795))-π/2
    2×atan(5.30263627240199)-π/2
    2×1.38440000631614-π/2
    2.76880001263228-1.57079632675     		φ = 1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7529 KachelY 3842 -0.25425732 1.19800369 -14.567871 68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 7530 KachelY 3842 -0.25387382 1.19800369 -14.545898 68.640555
    Unten links KachelX 7529 KachelY + 1 3843 -0.25425732 1.19786399 -14.567871 68.632551
    Unten rechts KachelX + 1 7530 KachelY + 1 3843 -0.25387382 1.19786399 -14.545898 68.632551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19800369-1.19786399) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dl = 890.028699999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19800369-1.19786399) × R
    0.000139699999999854 × 6371000     		dr = 890.028699999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(1.19800369) × R
    0.000383500000000037 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 889.885202785436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(1.19786399) × R
    0.000383500000000037 × 0.364347771135478 × 6371000     		du = 890.203075738319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19800369)-sin(1.19786399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364347771135478)×R²
    abs(-0.25387382--0.25425732)×0.000130100990485715×R²
    0.000383500000000037×0.000130100990485715×6371000²
    0.000383500000000037×0.000130100990485715×40589641000000     		ar = 792164.829496944m²