Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7529 / 10680
↖ ↑ ↗
← S 47.872144°
W 14.567871°		 ← 1 638.92 m → S 47.872144°
W 14.545898°		 →
↑
1 638.68 m
↓
↑
1 638.68 m
↓
S 47.886881°
W 14.567871°		 ← 1 638.45 m →
2 685 292 m²		 S 47.886881°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459564208984375 y=0.651885986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459564208984375 × 214)
    floor (0.459564208984375 × 16384)
    floor (7529.5)     		tx = 7529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651885986328125 × 214)
    floor (0.651885986328125 × 16384)
    floor (10680.5)     		ty = 10680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7529 / 10680 ti = "14/7529/10680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7529/10680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7529 ÷ 214
    7529 ÷ 16384     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10680 ÷ 214
    10680 ÷ 16384     		y = 0.65185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954136050037598))-π/2
    2×atan(0.385144746645892)-π/2
    2×0.36763489728368-π/2
    0.73526979456736-1.57079632675     		φ = -0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7529 KachelY 10680 -0.25425732 -0.83552653 -14.567871 -47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 7530 KachelY 10680 -0.25387382 -0.83552653 -14.545898 -47.872144
    Unten links KachelX 7529 KachelY + 1 10681 -0.25425732 -0.83578374 -14.567871 -47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 7530 KachelY + 1 10681 -0.25387382 -0.83578374 -14.545898 -47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83552653--0.83578374) × R
    0.000257210000000008 × 6371000     		dl = 1638.68491000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83552653--0.83578374) × R
    0.000257210000000008 × 6371000     		dr = 1638.68491000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(-0.83552653) × R
    0.000383500000000037 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 1638.92012656565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(-0.83578374) × R
    0.000383500000000037 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 1638.45399317142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83552653)-sin(-0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670596492856325)×R²
    abs(-0.25387382--0.25425732)×0.000190781932650874×R²
    0.000383500000000037×0.000190781932650874×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190781932650874×40589641000000     		ar = 2685291.77202329m²