Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7529 / 10473
↖ ↑ ↗
← S 44.731126°
W 14.567871°		 ← 1 735.75 m → S 44.731126°
W 14.545898°		 →
↑
1 735.46 m
↓
↑
1 735.46 m
↓
S 44.746733°
W 14.567871°		 ← 1 735.28 m →
3 011 914 m²		 S 44.746733°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459564208984375 y=0.639251708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459564208984375 × 214)
    floor (0.459564208984375 × 16384)
    floor (7529.5)     		tx = 7529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639251708984375 × 214)
    floor (0.639251708984375 × 16384)
    floor (10473.5)     		ty = 10473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7529 / 10473 ti = "14/7529/10473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7529/10473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7529 ÷ 214
    7529 ÷ 16384     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10473 ÷ 214
    10473 ÷ 16384     		y = 0.63922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.2784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.874752544266785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874752544266785))-π/2
    2×atan(0.416965187339426)-π/2
    2×0.395045453548967-π/2
    0.790090907097934-1.57079632675     		φ = -0.78070542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78070542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.731126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7529 KachelY 10473 -0.25425732 -0.78070542 -14.567871 -44.731126
    Oben rechts KachelX + 1 7530 KachelY 10473 -0.25387382 -0.78070542 -14.545898 -44.731126
    Unten links KachelX 7529 KachelY + 1 10474 -0.25425732 -0.78097782 -14.567871 -44.746733
    Unten rechts KachelX + 1 7530 KachelY + 1 10474 -0.25387382 -0.78097782 -14.545898 -44.746733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78070542--0.78097782) × R
    0.000272400000000061 × 6371000     		dl = 1735.46040000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78070542--0.78097782) × R
    0.000272400000000061 × 6371000     		dr = 1735.46040000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(-0.78070542) × R
    0.000383500000000037 × 0.710417253804073 × 6371000     		do = 1735.7472022487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25387382) × cos(-0.78097782) × R
    0.000383500000000037 × 0.710225517576633 × 6371000     		du = 1735.27873724652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78070542)-sin(-0.78097782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710417253804073-0.710225517576633)×R²
    abs(-0.25387382--0.25425732)×0.000191736227439954×R²
    0.000383500000000037×0.000191736227439954×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191736227439954×40589641000000     		ar = 3011914.05130896m²