Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75289 / 56010
↖ ↑ ↗
← N 25.299338°
E 26.787414°		 ← 276.13 m → N 25.299338°
E 26.790161°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.296854°
E 26.787414°		 ← 276.14 m →
76 246 m²		 N 25.296854°
E 26.790161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574413299560547 y=0.427326202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574413299560547 × 217)
    floor (0.574413299560547 × 131072)
    floor (75289.5)     		tx = 75289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427326202392578 × 217)
    floor (0.427326202392578 × 131072)
    floor (56010.5)     		ty = 56010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75289 / 56010 ti = "17/75289/56010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75289/56010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75289 ÷ 217
    75289 ÷ 131072     		x = 0.574409484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56010 ÷ 217
    56010 ÷ 131072     		y = 0.427322387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574409484863281 × 2 - 1) × π
    0.148818969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46752858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427322387695312 × 2 - 1) × π
    0.145355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.456646905780655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46752858} λ = 0.46752858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456646905780655))-π/2
    2×atan(1.57877133079021)-π/2
    2×1.00617653293496-π/2
    2.01235306586992-1.57079632675     		φ = 0.44155674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46752858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.787414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44155674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.299338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75289 KachelY 56010 0.46752858 0.44155674 26.787414 25.299338
    Oben rechts KachelX + 1 75290 KachelY 56010 0.46757652 0.44155674 26.790161 25.299338
    Unten links KachelX 75289 KachelY + 1 56011 0.46752858 0.44151340 26.787414 25.296854
    Unten rechts KachelX + 1 75290 KachelY + 1 56011 0.46757652 0.44151340 26.790161 25.296854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44155674-0.44151340) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44155674-0.44151340) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46752858-0.46757652) × cos(0.44155674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904087490179733 × 6371000     		do = 276.131590712706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46752858-0.46757652) × cos(0.44151340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904106010567442 × 6371000     		du = 276.137247315828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44155674)-sin(0.44151340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904087490179733-0.904106010567442)×R²
    abs(0.46757652-0.46752858)×1.85203877089979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85203877089979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85203877089979e-05×40589641000000     		ar = 76245.9983145904m²