Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75282 / 78349
↖ ↑ ↗
← S 33.167444°
E 26.768188°		 ← 255.66 m → S 33.167444°
E 26.770935°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.169744°
E 26.768188°		 ← 255.66 m →
65 364 m²		 S 33.169744°
E 26.770935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574359893798828 y=0.597759246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574359893798828 × 217)
    floor (0.574359893798828 × 131072)
    floor (75282.5)     		tx = 75282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597759246826172 × 217)
    floor (0.597759246826172 × 131072)
    floor (78349.5)     		ty = 78349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75282 / 78349 ti = "17/75282/78349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75282/78349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75282 ÷ 217
    75282 ÷ 131072     		x = 0.574356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78349 ÷ 217
    78349 ÷ 131072     		y = 0.597755432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574356079101562 × 2 - 1) × π
    0.148712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46719302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597755432128906 × 2 - 1) × π
    -0.195510864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.61421549483178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46719302} λ = 0.46719302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61421549483178))-π/2
    2×atan(0.541065197297628)-π/2
    2×0.495957607606067-π/2
    0.991915215212135-1.57079632675     		φ = -0.57888111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46719302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57888111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.167444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75282 KachelY 78349 0.46719302 -0.57888111 26.768188 -33.167444
    Oben rechts KachelX + 1 75283 KachelY 78349 0.46724096 -0.57888111 26.770935 -33.167444
    Unten links KachelX 75282 KachelY + 1 78350 0.46719302 -0.57892124 26.768188 -33.169744
    Unten rechts KachelX + 1 75283 KachelY + 1 78350 0.46724096 -0.57892124 26.770935 -33.169744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57888111--0.57892124) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57888111--0.57892124) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(-0.57888111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837075304699939 × 6371000     		do = 255.664344373537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(-0.57892124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837053349397155 × 6371000     		du = 255.657638658937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57888111)-sin(-0.57892124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837075304699939-0.837053349397155)×R²
    abs(0.46724096-0.46719302)×2.19553027833719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19553027833719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19553027833719e-05×40589641000000     		ar = 65364.3931898076m²