Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75282 / 57006
↖ ↑ ↗
← N 22.801503°
E 26.768188°		 ← 281.56 m → N 22.801503°
E 26.770935°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.798972°
E 26.768188°		 ← 281.56 m →
79 269 m²		 N 22.798972°
E 26.770935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574359893798828 y=0.434925079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574359893798828 × 217)
    floor (0.574359893798828 × 131072)
    floor (75282.5)     		tx = 75282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434925079345703 × 217)
    floor (0.434925079345703 × 131072)
    floor (57006.5)     		ty = 57006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75282 / 57006 ti = "17/75282/57006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75282/57006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75282 ÷ 217
    75282 ÷ 131072     		x = 0.574356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57006 ÷ 217
    57006 ÷ 131072     		y = 0.434921264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574356079101562 × 2 - 1) × π
    0.148712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46719302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434921264648438 × 2 - 1) × π
    0.130157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408901753759079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46719302} λ = 0.46719302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408901753759079))-π/2
    2×atan(1.50516383653225)-π/2
    2×0.984378816927488-π/2
    1.96875763385498-1.57079632675     		φ = 0.39796131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46719302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39796131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.801503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75282 KachelY 57006 0.46719302 0.39796131 26.768188 22.801503
    Oben rechts KachelX + 1 75283 KachelY 57006 0.46724096 0.39796131 26.770935 22.801503
    Unten links KachelX 75282 KachelY + 1 57007 0.46719302 0.39791712 26.768188 22.798972
    Unten rechts KachelX + 1 75283 KachelY + 1 57007 0.46724096 0.39791712 26.770935 22.798972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39796131-0.39791712) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39796131-0.39791712) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(0.39796131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921852982650822 × 6371000     		do = 281.55762939715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(0.39791712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921870107133463 × 6371000     		du = 281.562859654933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39796131)-sin(0.39791712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921852982650822-0.921870107133463)×R²
    abs(0.46724096-0.46719302)×1.71244826413508e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71244826413508e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71244826413508e-05×40589641000000     		ar = 79268.9198597884m²