Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75282 / 55762
↖ ↑ ↗
← N 25.913586°
E 26.768188°		 ← 274.72 m → N 25.913586°
E 26.770935°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.911115°
E 26.768188°		 ← 274.72 m →
75 470 m²		 N 25.911115°
E 26.770935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574359893798828 y=0.425434112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574359893798828 × 217)
    floor (0.574359893798828 × 131072)
    floor (75282.5)     		tx = 75282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425434112548828 × 217)
    floor (0.425434112548828 × 131072)
    floor (55762.5)     		ty = 55762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75282 / 55762 ti = "17/75282/55762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75282/55762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75282 ÷ 217
    75282 ÷ 131072     		x = 0.574356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55762 ÷ 217
    55762 ÷ 131072     		y = 0.425430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574356079101562 × 2 - 1) × π
    0.148712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46719302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425430297851562 × 2 - 1) × π
    0.149139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.468535256886429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46719302} λ = 0.46719302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468535256886429))-π/2
    2×atan(1.59765232827507)-π/2
    2×1.01153685664607-π/2
    2.02307371329215-1.57079632675     		φ = 0.45227739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46719302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45227739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.913586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75282 KachelY 55762 0.46719302 0.45227739 26.768188 25.913586
    Oben rechts KachelX + 1 75283 KachelY 55762 0.46724096 0.45227739 26.770935 25.913586
    Unten links KachelX 75282 KachelY + 1 55763 0.46719302 0.45223427 26.768188 25.911115
    Unten rechts KachelX + 1 75283 KachelY + 1 55763 0.46724096 0.45223427 26.770935 25.911115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45227739-0.45223427) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45227739-0.45223427) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(0.45227739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899454181965442 × 6371000     		do = 274.716459122709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46719302-0.46724096) × cos(0.45223427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899473025219216 × 6371000     		du = 274.722214337438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45227739)-sin(0.45223427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899454181965442-0.899473025219216)×R²
    abs(0.46724096-0.46719302)×1.88432537743255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88432537743255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88432537743255e-05×40589641000000     		ar = 75470.2148942911m²