Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75281 / 56915
↖ ↑ ↗
← N 23.031715°
E 26.765442°		 ← 281.02 m → N 23.031715°
E 26.768188°		 →
↑
281.09 m
↓
↑
281.09 m
↓
N 23.029187°
E 26.765442°		 ← 281.03 m →
78 993 m²		 N 23.029187°
E 26.768188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574352264404297 y=0.434230804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574352264404297 × 217)
    floor (0.574352264404297 × 131072)
    floor (75281.5)     		tx = 75281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434230804443359 × 217)
    floor (0.434230804443359 × 131072)
    floor (56915.5)     		ty = 56915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75281 / 56915 ti = "17/75281/56915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75281/56915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75281 ÷ 217
    75281 ÷ 131072     		x = 0.574348449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56915 ÷ 217
    56915 ÷ 131072     		y = 0.434226989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574348449707031 × 2 - 1) × π
    0.148696899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46714509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434226989746094 × 2 - 1) × π
    0.131546020507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.413264011624504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46714509} λ = 0.46714509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413264011624504))-π/2
    2×atan(1.5117440912661)-π/2
    2×0.986387793115565-π/2
    1.97277558623113-1.57079632675     		φ = 0.40197926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46714509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.765442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40197926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.031715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75281 KachelY 56915 0.46714509 0.40197926 26.765442 23.031715
    Oben rechts KachelX + 1 75282 KachelY 56915 0.46719302 0.40197926 26.768188 23.031715
    Unten links KachelX 75281 KachelY + 1 56916 0.46714509 0.40193514 26.765442 23.029187
    Unten rechts KachelX + 1 75282 KachelY + 1 56916 0.46719302 0.40193514 26.768188 23.029187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40197926-0.40193514) × R
    4.41199999999808e-05 × 6371000     		dl = 281.088519999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40197926-0.40193514) × R
    4.41199999999808e-05 × 6371000     		dr = 281.088519999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46714509-0.46719302) × cos(0.40197926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92028843024404 × 6371000     		do = 281.021143245006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46714509-0.46719302) × cos(0.40193514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920305690883493 × 6371000     		du = 281.026413988908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40197926)-sin(0.40193514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92028843024404-0.920305690883493)×R²
    abs(0.46719302-0.46714509)×1.72606394526209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72606394526209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72606394526209e-05×40589641000000     		ar = 78992.558028996m²