Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75280 / 57008
↖ ↑ ↗
← N 22.796439°
E 26.762695°		 ← 281.57 m → N 22.796439°
E 26.765442°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.793907°
E 26.762695°		 ← 281.57 m →
79 272 m²		 N 22.793907°
E 26.765442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574344635009766 y=0.434940338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574344635009766 × 217)
    floor (0.574344635009766 × 131072)
    floor (75280.5)     		tx = 75280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434940338134766 × 217)
    floor (0.434940338134766 × 131072)
    floor (57008.5)     		ty = 57008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75280 / 57008 ti = "17/75280/57008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75280/57008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75280 ÷ 217
    75280 ÷ 131072     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57008 ÷ 217
    57008 ÷ 131072     		y = 0.4349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4349365234375 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408805879959839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408805879959839))-π/2
    2×atan(1.50501953767411)-π/2
    2×0.984334625332635-π/2
    1.96866925066527-1.57079632675     		φ = 0.39787292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39787292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.796439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75280 KachelY 57008 0.46709715 0.39787292 26.762695 22.796439
    Oben rechts KachelX + 1 75281 KachelY 57008 0.46714509 0.39787292 26.765442 22.796439
    Unten links KachelX 75280 KachelY + 1 57009 0.46709715 0.39782873 26.762695 22.793907
    Unten rechts KachelX + 1 75281 KachelY + 1 57009 0.46714509 0.39782873 26.765442 22.793907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39787292-0.39782873) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39787292-0.39782873) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46714509) × cos(0.39787292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9218872336905 × 6371000     		do = 281.568090546289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46714509) × cos(0.39782873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921904354572326 × 6371000     		du = 281.57331970429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39787292)-sin(0.39782873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9218872336905-0.921904354572326)×R²
    abs(0.46714509-0.46709715)×1.71208818257051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71208818257051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71208818257051e-05×40589641000000     		ar = 79271.8648792988m²