Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75280 / 55760
↖ ↑ ↗
← N 25.918526°
E 26.762695°		 ← 274.70 m → N 25.918526°
E 26.765442°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.916056°
E 26.762695°		 ← 274.71 m →
75 467 m²		 N 25.916056°
E 26.765442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574344635009766 y=0.425418853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574344635009766 × 217)
    floor (0.574344635009766 × 131072)
    floor (75280.5)     		tx = 75280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425418853759766 × 217)
    floor (0.425418853759766 × 131072)
    floor (55760.5)     		ty = 55760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75280 / 55760 ti = "17/75280/55760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75280/55760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75280 ÷ 217
    75280 ÷ 131072     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55760 ÷ 217
    55760 ÷ 131072     		y = 0.4254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4254150390625 × 2 - 1) × π
    0.149169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.468631130685669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468631130685669))-π/2
    2×atan(1.59780550861652)-π/2
    2×1.01157997278768-π/2
    2.02315994557535-1.57079632675     		φ = 0.45236362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45236362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.918526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75280 KachelY 55760 0.46709715 0.45236362 26.762695 25.918526
    Oben rechts KachelX + 1 75281 KachelY 55760 0.46714509 0.45236362 26.765442 25.918526
    Unten links KachelX 75280 KachelY + 1 55761 0.46709715 0.45232050 26.762695 25.916056
    Unten rechts KachelX + 1 75281 KachelY + 1 55761 0.46714509 0.45232050 26.765442 25.916056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45236362-0.45232050) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45236362-0.45232050) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46714509) × cos(0.45236362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899416494811696 × 6371000     		do = 274.704948495888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46714509) × cos(0.45232050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89943534140982 × 6371000     		du = 274.710704732067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45236362)-sin(0.45232050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899416494811696-0.89943534140982)×R²
    abs(0.46714509-0.46709715)×1.88465981236785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88465981236785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88465981236785e-05×40589641000000     		ar = 75467.0528636261m²