Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7528 / 3789
↖ ↑ ↗
← N 69.060712°
W 14.589844°		 ← 873.15 m → N 69.060712°
W 14.567871°		 →
↑
873.34 m
↓
↑
873.34 m
↓
N 69.052858°
W 14.589844°		 ← 873.47 m →
762 693 m²		 N 69.052858°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459503173828125 y=0.231292724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459503173828125 × 214)
    floor (0.459503173828125 × 16384)
    floor (7528.5)     		tx = 7528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231292724609375 × 214)
    floor (0.231292724609375 × 16384)
    floor (3789.5)     		ty = 3789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7528 / 3789 ti = "14/7528/3789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7528/3789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7528 ÷ 214
    7528 ÷ 16384     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3789 ÷ 214
    3789 ÷ 16384     		y = 0.23126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23126220703125 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68852935221686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68852935221686))-π/2
    2×atan(5.41151641561422)-π/2
    2×1.38806656780693-π/2
    2.77613313561385-1.57079632675     		φ = 1.20533681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20533681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.060712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7528 KachelY 3789 -0.25464081 1.20533681 -14.589844 69.060712
    Oben rechts KachelX + 1 7529 KachelY 3789 -0.25425732 1.20533681 -14.567871 69.060712
    Unten links KachelX 7528 KachelY + 1 3790 -0.25464081 1.20519973 -14.589844 69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 7529 KachelY + 1 3790 -0.25425732 1.20519973 -14.567871 69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20533681-1.20519973) × R
    0.000137080000000012 × 6371000     		dl = 873.336680000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20533681-1.20519973) × R
    0.000137080000000012 × 6371000     		dr = 873.336680000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25425732) × cos(1.20533681) × R
    0.000383489999999986 × 0.357378502332637 × 6371000     		do = 873.152442527116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25425732) × cos(1.20519973) × R
    0.000383489999999986 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 873.465232239816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20533681)-sin(1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357378502332637-0.357506526161724)×R²
    abs(-0.25425732--0.25464081)×0.000128023829087776×R²
    0.000383489999999986×0.000128023829087776×6371000²
    0.000383489999999986×0.000128023829087776×40589641000000     		ar = 762692.641849959m²