Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7528 / 10696
↖ ↑ ↗
← S 48.107431°
W 14.589844°		 ← 1 631.42 m → S 48.107431°
W 14.567871°		 →
↑
1 631.23 m
↓
↑
1 631.23 m
↓
S 48.122101°
W 14.589844°		 ← 1 630.96 m →
2 660 847 m²		 S 48.122101°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459503173828125 y=0.652862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459503173828125 × 214)
    floor (0.459503173828125 × 16384)
    floor (7528.5)     		tx = 7528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652862548828125 × 214)
    floor (0.652862548828125 × 16384)
    floor (10696.5)     		ty = 10696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7528 / 10696 ti = "14/7528/10696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7528/10696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7528 ÷ 214
    7528 ÷ 16384     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10696 ÷ 214
    10696 ÷ 16384     		y = 0.65283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65283203125 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960271973188965))-π/2
    2×atan(0.382788763535779)-π/2
    2×0.365581628948816-π/2
    0.731163257897632-1.57079632675     		φ = -0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7528 KachelY 10696 -0.25464081 -0.83963307 -14.589844 -48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 7529 KachelY 10696 -0.25425732 -0.83963307 -14.567871 -48.107431
    Unten links KachelX 7528 KachelY + 1 10697 -0.25464081 -0.83988911 -14.589844 -48.122101
    Unten rechts KachelX + 1 7529 KachelY + 1 10697 -0.25425732 -0.83988911 -14.567871 -48.122101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83963307--0.83988911) × R
    0.000256040000000013 × 6371000     		dl = 1631.23084000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83963307--0.83988911) × R
    0.000256040000000013 × 6371000     		dr = 1631.23084000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25425732) × cos(-0.83963307) × R
    0.000383489999999986 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 1631.42250229435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25425732) × cos(-0.83988911) × R
    0.000383489999999986 × 0.667545395212953 × 6371000     		du = 1630.95678258063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83963307)-sin(-0.83988911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.667545395212953)×R²
    abs(-0.25425732--0.25464081)×0.000190617589430064×R²
    0.000383489999999986×0.000190617589430064×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190617589430064×40589641000000     		ar = 2660846.86517034m²