Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75278 / 78330
↖ ↑ ↗
← S 33.123751°
E 26.757202°		 ← 255.74 m → S 33.123751°
E 26.759949°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 33.126051°
E 26.757202°		 ← 255.73 m →
65 416 m²		 S 33.126051°
E 26.759949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574329376220703 y=0.597614288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574329376220703 × 217)
    floor (0.574329376220703 × 131072)
    floor (75278.5)     		tx = 75278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597614288330078 × 217)
    floor (0.597614288330078 × 131072)
    floor (78330.5)     		ty = 78330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75278 / 78330 ti = "17/75278/78330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75278/78330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75278 ÷ 217
    75278 ÷ 131072     		x = 0.574325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78330 ÷ 217
    78330 ÷ 131072     		y = 0.597610473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574325561523438 × 2 - 1) × π
    0.148651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46700128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.195220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.613304693738998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46700128} λ = 0.46700128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613304693738998))-π/2
    2×atan(0.541558224561395)-π/2
    2×0.496338907110465-π/2
    0.992677814220931-1.57079632675     		φ = -0.57811851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46700128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.757202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57811851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.123751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75278 KachelY 78330 0.46700128 -0.57811851 26.757202 -33.123751
    Oben rechts KachelX + 1 75279 KachelY 78330 0.46704921 -0.57811851 26.759949 -33.123751
    Unten links KachelX 75278 KachelY + 1 78331 0.46700128 -0.57815866 26.757202 -33.126051
    Unten rechts KachelX + 1 75279 KachelY + 1 78331 0.46704921 -0.57815866 26.759949 -33.126051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57811851--0.57815866) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57811851--0.57815866) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46700128-0.46704921) × cos(-0.57811851) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837492270323285 × 6371000     		do = 255.738339775087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46700128-0.46704921) × cos(-0.57815866) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837470329714023 × 6371000     		du = 255.731639946104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57811851)-sin(-0.57815866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837492270323285-0.837470329714023)×R²
    abs(0.46704921-0.46700128)×2.19406092623053e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19406092623053e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19406092623053e-05×40589641000000     		ar = 65415.8979680527m²