Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75275 / 55962
↖ ↑ ↗
← N 25.418470°
E 26.748963°		 ← 275.80 m → N 25.418470°
E 26.751709°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.415990°
E 26.748963°		 ← 275.81 m →
76 067 m²		 N 25.415990°
E 26.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574306488037109 y=0.426959991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574306488037109 × 217)
    floor (0.574306488037109 × 131072)
    floor (75275.5)     		tx = 75275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426959991455078 × 217)
    floor (0.426959991455078 × 131072)
    floor (55962.5)     		ty = 55962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75275 / 55962 ti = "17/75275/55962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75275/55962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75275 ÷ 217
    75275 ÷ 131072     		x = 0.574302673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55962 ÷ 217
    55962 ÷ 131072     		y = 0.426956176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574302673339844 × 2 - 1) × π
    0.148605346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46685747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426956176757812 × 2 - 1) × π
    0.146087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458947876962418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46685747} λ = 0.46685747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458947876962418))-π/2
    2×atan(1.58240822070979)-π/2
    2×1.00721616059208-π/2
    2.01443232118416-1.57079632675     		φ = 0.44363599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46685747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.748963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44363599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.418470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75275 KachelY 55962 0.46685747 0.44363599 26.748963 25.418470
    Oben rechts KachelX + 1 75276 KachelY 55962 0.46690540 0.44363599 26.751709 25.418470
    Unten links KachelX 75275 KachelY + 1 55963 0.46685747 0.44359270 26.748963 25.415990
    Unten rechts KachelX + 1 75276 KachelY + 1 55963 0.46690540 0.44359270 26.751709 25.415990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44363599-0.44359270) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44363599-0.44359270) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46685747-0.46690540) × cos(0.44363599) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.903196974403426 × 6371000     		do = 275.802061593857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46685747-0.46690540) × cos(0.44359270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.903215554764086 × 6371000     		du = 275.807735330506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44363599)-sin(0.44359270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903196974403426-0.903215554764086)×R²
    abs(0.46690540-0.46685747)×1.85803606592705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85803606592705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85803606592705e-05×40589641000000     		ar = 76067.1537325971m²