Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75274 / 78310
↖ ↑ ↗
← S 33.077734°
E 26.746216°		 ← 255.93 m → S 33.077734°
E 26.748963°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
S 33.080035°
E 26.746216°		 ← 255.92 m →
65 480 m²		 S 33.080035°
E 26.748963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574298858642578 y=0.597461700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574298858642578 × 217)
    floor (0.574298858642578 × 131072)
    floor (75274.5)     		tx = 75274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597461700439453 × 217)
    floor (0.597461700439453 × 131072)
    floor (78310.5)     		ty = 78310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75274 / 78310 ti = "17/75274/78310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75274/78310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75274 ÷ 217
    75274 ÷ 131072     		x = 0.574295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78310 ÷ 217
    78310 ÷ 131072     		y = 0.597457885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46680953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.194915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.612345955746597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46680953} λ = 0.46680953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612345955746597))-π/2
    2×atan(0.542077685980288)-π/2
    2×0.496740480078759-π/2
    0.993480960157517-1.57079632675     		φ = -0.57731537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46680953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57731537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.077734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75274 KachelY 78310 0.46680953 -0.57731537 26.746216 -33.077734
    Oben rechts KachelX + 1 75275 KachelY 78310 0.46685747 -0.57731537 26.748963 -33.077734
    Unten links KachelX 75274 KachelY + 1 78311 0.46680953 -0.57735553 26.746216 -33.080035
    Unten rechts KachelX + 1 75275 KachelY + 1 78311 0.46685747 -0.57735553 26.748963 -33.080035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57731537--0.57735553) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57731537--0.57735553) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(-0.57731537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837930875358366 × 6371000     		do = 255.925657675305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(-0.57735553) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837908956303558 × 6371000     		du = 255.91896303177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57731537)-sin(-0.57735553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837930875358366-0.837908956303558)×R²
    abs(0.46685747-0.46680953)×2.19190548076398e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19190548076398e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19190548076398e-05×40589641000000     		ar = 65480.1185456704m²