Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75274 / 57886
↖ ↑ ↗
← N 20.555652°
E 26.746216°		 ← 285.98 m → N 20.555652°
E 26.748963°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.553081°
E 26.746216°		 ← 285.98 m →
81 771 m²		 N 20.553081°
E 26.748963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574298858642578 y=0.441638946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574298858642578 × 217)
    floor (0.574298858642578 × 131072)
    floor (75274.5)     		tx = 75274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441638946533203 × 217)
    floor (0.441638946533203 × 131072)
    floor (57886.5)     		ty = 57886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75274 / 57886 ti = "17/75274/57886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75274/57886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75274 ÷ 217
    75274 ÷ 131072     		x = 0.574295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57886 ÷ 217
    57886 ÷ 131072     		y = 0.441635131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46680953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441635131835938 × 2 - 1) × π
    0.116729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.36671728209343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46680953} λ = 0.46680953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36671728209343))-π/2
    2×atan(1.44298990235668)-π/2
    2×0.964780070563207-π/2
    1.92956014112641-1.57079632675     		φ = 0.35876381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46680953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35876381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.555652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75274 KachelY 57886 0.46680953 0.35876381 26.746216 20.555652
    Oben rechts KachelX + 1 75275 KachelY 57886 0.46685747 0.35876381 26.748963 20.555652
    Unten links KachelX 75274 KachelY + 1 57887 0.46680953 0.35871893 26.746216 20.553081
    Unten rechts KachelX + 1 75275 KachelY + 1 57887 0.46685747 0.35871893 26.748963 20.553081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35876381-0.35871893) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35876381-0.35871893) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(0.35876381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936331586348825 × 6371000     		do = 285.979767646107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(0.35871893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936347343537606 × 6371000     		du = 285.984580297151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35876381)-sin(0.35871893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936331586348825-0.936347343537606)×R²
    abs(0.46685747-0.46680953)×1.5757188781218e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5757188781218e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5757188781218e-05×40589641000000     		ar = 81771.0202889234m²