Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75274 / 56169
↖ ↑ ↗
← N 24.903876°
E 26.746216°		 ← 277.03 m → N 24.903876°
E 26.748963°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.901385°
E 26.746216°		 ← 277.03 m →
76 740 m²		 N 24.901385°
E 26.748963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574298858642578 y=0.428539276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574298858642578 × 217)
    floor (0.574298858642578 × 131072)
    floor (75274.5)     		tx = 75274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428539276123047 × 217)
    floor (0.428539276123047 × 131072)
    floor (56169.5)     		ty = 56169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75274 / 56169 ti = "17/75274/56169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75274/56169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75274 ÷ 217
    75274 ÷ 131072     		x = 0.574295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56169 ÷ 217
    56169 ÷ 131072     		y = 0.428535461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46680953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428535461425781 × 2 - 1) × π
    0.142929077148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.449024938741066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46680953} λ = 0.46680953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449024938741066))-π/2
    2×atan(1.56678373032599)-π/2
    2×1.00272548036104-π/2
    2.00545096072208-1.57079632675     		φ = 0.43465463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46680953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43465463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.903876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75274 KachelY 56169 0.46680953 0.43465463 26.746216 24.903876
    Oben rechts KachelX + 1 75275 KachelY 56169 0.46685747 0.43465463 26.748963 24.903876
    Unten links KachelX 75274 KachelY + 1 56170 0.46680953 0.43461115 26.746216 24.901385
    Unten rechts KachelX + 1 75275 KachelY + 1 56170 0.46685747 0.43461115 26.748963 24.901385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43465463-0.43461115) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43465463-0.43461115) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(0.43465463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907015530720836 × 6371000     		do = 277.025889662043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46680953-0.46685747) × cos(0.43461115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907033839168444 × 6371000     		du = 277.031481533202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43465463)-sin(0.43461115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907015530720836-0.907033839168444)×R²
    abs(0.46685747-0.46680953)×1.83084476078621e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83084476078621e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83084476078621e-05×40589641000000     		ar = 76740.0154005398m²