Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75272 / 78328
↖ ↑ ↗
← S 33.119150°
E 26.740722°		 ← 255.81 m → S 33.119150°
E 26.743469°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 33.121451°
E 26.740722°		 ← 255.80 m →
65 433 m²		 S 33.121451°
E 26.743469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574283599853516 y=0.597599029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574283599853516 × 217)
    floor (0.574283599853516 × 131072)
    floor (75272.5)     		tx = 75272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597599029541016 × 217)
    floor (0.597599029541016 × 131072)
    floor (78328.5)     		ty = 78328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75272 / 78328 ti = "17/75272/78328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75272/78328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75272 ÷ 217
    75272 ÷ 131072     		x = 0.57427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78328 ÷ 217
    78328 ÷ 131072     		y = 0.59759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57427978515625 × 2 - 1) × π
    0.1485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46671365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1951904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.613208819939758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46671365} λ = 0.46671365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613208819939758))-π/2
    2×atan(0.541610148294916)-π/2
    2×0.496379054944916-π/2
    0.992758109889833-1.57079632675     		φ = -0.57803822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46671365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57803822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.119150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75272 KachelY 78328 0.46671365 -0.57803822 26.740722 -33.119150
    Oben rechts KachelX + 1 75273 KachelY 78328 0.46676159 -0.57803822 26.743469 -33.119150
    Unten links KachelX 75272 KachelY + 1 78329 0.46671365 -0.57807837 26.740722 -33.121451
    Unten rechts KachelX + 1 75273 KachelY + 1 78329 0.46676159 -0.57807837 26.743469 -33.121451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57803822--0.57807837) × R
    4.01499999999055e-05 × 6371000     		dl = 255.795649999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57803822--0.57807837) × R
    4.01499999999055e-05 × 6371000     		dr = 255.795649999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46671365-0.46676159) × cos(-0.57803822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837536142027786 × 6371000     		do = 255.80509595571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46671365-0.46676159) × cos(-0.57807837) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.837514204118335 × 6371000     		du = 255.798395553482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57803822)-sin(-0.57807837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837536142027786-0.837514204118335)×R²
    abs(0.46676159-0.46671365)×2.19379094503758e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19379094503758e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19379094503758e-05×40589641000000     		ar = 65432.9738349803m²