Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75271 / 55619
↖ ↑ ↗
← N 26.266325°
E 26.737976°		 ← 273.83 m → N 26.266325°
E 26.740722°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.263862°
E 26.737976°		 ← 273.84 m →
75 001 m²		 N 26.263862°
E 26.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574275970458984 y=0.424343109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574275970458984 × 217)
    floor (0.574275970458984 × 131072)
    floor (75271.5)     		tx = 75271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424343109130859 × 217)
    floor (0.424343109130859 × 131072)
    floor (55619.5)     		ty = 55619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75271 / 55619 ti = "17/75271/55619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75271/55619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75271 ÷ 217
    75271 ÷ 131072     		x = 0.574272155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55619 ÷ 217
    55619 ÷ 131072     		y = 0.424339294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574272155761719 × 2 - 1) × π
    0.148544311523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46666572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424339294433594 × 2 - 1) × π
    0.151321411132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.475390233532097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46666572} λ = 0.46666572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475390233532097))-π/2
    2×atan(1.60864182099763)-π/2
    2×1.01461509278636-π/2
    2.02923018557272-1.57079632675     		φ = 0.45843386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46666572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.737976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45843386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.266325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75271 KachelY 55619 0.46666572 0.45843386 26.737976 26.266325
    Oben rechts KachelX + 1 75272 KachelY 55619 0.46671365 0.45843386 26.740722 26.266325
    Unten links KachelX 75271 KachelY + 1 55620 0.46666572 0.45839087 26.737976 26.263862
    Unten rechts KachelX + 1 75272 KachelY + 1 55620 0.46671365 0.45839087 26.740722 26.263862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45843386-0.45839087) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45843386-0.45839087) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46666572-0.46671365) × cos(0.45843386) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896746683213442 × 6371000     		do = 273.832387581674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46666572-0.46671365) × cos(0.45839087) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896765707360773 × 6371000     		du = 273.838196833922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45843386)-sin(0.45839087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896746683213442-0.896765707360773)×R²
    abs(0.46671365-0.46666572)×1.90241473304598e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90241473304598e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90241473304598e-05×40589641000000     		ar = 75000.5537713435m²