Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7527 / 3791
↖ ↑ ↗
← N 69.045001°
W 14.611817°		 ← 873.80 m → N 69.045001°
W 14.589844°		 →
↑
873.91 m
↓
↑
873.91 m
↓
N 69.037142°
W 14.611817°		 ← 874.11 m →
763 760 m²		 N 69.037142°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459442138671875 y=0.231414794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459442138671875 × 214)
    floor (0.459442138671875 × 16384)
    floor (7527.5)     		tx = 7527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231414794921875 × 214)
    floor (0.231414794921875 × 16384)
    floor (3791.5)     		ty = 3791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7527 / 3791 ti = "14/7527/3791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7527/3791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7527 ÷ 214
    7527 ÷ 16384     		x = 0.45941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3791 ÷ 214
    3791 ÷ 16384     		y = 0.23138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25502431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23138427734375 × 2 - 1) × π
    0.5372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68776236182294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25502431} λ = -0.25502431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68776236182294))-π/2
    2×atan(5.40736742582795)-π/2
    2×1.38792946576924-π/2
    2.77585893153847-1.57079632675     		φ = 1.20506260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25502431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20506260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7527 KachelY 3791 -0.25502431 1.20506260 -14.611817 69.045001
    Oben rechts KachelX + 1 7528 KachelY 3791 -0.25464081 1.20506260 -14.589844 69.045001
    Unten links KachelX 7527 KachelY + 1 3792 -0.25502431 1.20492543 -14.611817 69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 7528 KachelY + 1 3792 -0.25464081 1.20492543 -14.589844 69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20506260-1.20492543) × R
    0.000137169999999909 × 6371000     		dl = 873.910069999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20506260-1.20492543) × R
    0.000137169999999909 × 6371000     		dr = 873.910069999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25502431--0.25464081) × cos(1.20506260) × R
    0.000383499999999981 × 0.357634589966014 × 6371000     		do = 873.800904520235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25502431--0.25464081) × cos(1.20492543) × R
    0.000383499999999981 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 874.11387489094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20506260)-sin(1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357634589966014-0.357762684397617)×R²
    abs(-0.25464081--0.25502431)×0.000128094431602943×R²
    0.000383499999999981×0.000128094431602943×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128094431602943×40589641000000     		ar = 763760.164813311m²