Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7527 / 10230
↖ ↑ ↗
← S 40.813809°
W 14.611817°		 ← 1 849.16 m → S 40.813809°
W 14.589844°		 →
↑
1 848.93 m
↓
↑
1 848.93 m
↓
S 40.830437°
W 14.611817°		 ← 1 848.70 m →
3 418 544 m²		 S 40.830437°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459442138671875 y=0.624420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459442138671875 × 214)
    floor (0.459442138671875 × 16384)
    floor (7527.5)     		tx = 7527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624420166015625 × 214)
    floor (0.624420166015625 × 16384)
    floor (10230.5)     		ty = 10230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7527 / 10230 ti = "14/7527/10230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7527/10230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7527 ÷ 214
    7527 ÷ 16384     		x = 0.45941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10230 ÷ 214
    10230 ÷ 16384     		y = 0.6243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25502431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25502431} λ = -0.25502431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781563211405396))-π/2
    2×atan(0.457689985595636)-π/2
    2×0.429230487728755-π/2
    0.85846097545751-1.57079632675     		φ = -0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25502431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7527 KachelY 10230 -0.25502431 -0.71233535 -14.611817 -40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 7528 KachelY 10230 -0.25464081 -0.71233535 -14.589844 -40.813809
    Unten links KachelX 7527 KachelY + 1 10231 -0.25502431 -0.71262556 -14.611817 -40.830437
    Unten rechts KachelX + 1 7528 KachelY + 1 10231 -0.25464081 -0.71262556 -14.589844 -40.830437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71233535--0.71262556) × R
    0.000290209999999957 × 6371000     		dl = 1848.92790999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71233535--0.71262556) × R
    0.000290209999999957 × 6371000     		dr = 1848.92790999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25502431--0.25464081) × cos(-0.71233535) × R
    0.000383499999999981 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 1849.1649123888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25502431--0.25464081) × cos(-0.71262556) × R
    0.000383499999999981 × 0.756647835373912 × 6371000     		du = 1848.70138824053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71233535)-sin(-0.71262556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756647835373912)×R²
    abs(-0.25464081--0.25502431)×0.000189714004472319×R²
    0.000383499999999981×0.000189714004472319×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189714004472319×40589641000000     		ar = 3418544.12933268m²