Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75269 / 57861
↖ ↑ ↗
← N 20.619932°
E 26.732483°		 ← 285.86 m → N 20.619932°
E 26.735229°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.617361°
E 26.732483°		 ← 285.86 m →
81 718 m²		 N 20.617361°
E 26.735229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574260711669922 y=0.441448211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574260711669922 × 217)
    floor (0.574260711669922 × 131072)
    floor (75269.5)     		tx = 75269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441448211669922 × 217)
    floor (0.441448211669922 × 131072)
    floor (57861.5)     		ty = 57861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75269 / 57861 ti = "17/75269/57861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75269/57861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75269 ÷ 217
    75269 ÷ 131072     		x = 0.574256896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57861 ÷ 217
    57861 ÷ 131072     		y = 0.441444396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574256896972656 × 2 - 1) × π
    0.148513793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46656984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441444396972656 × 2 - 1) × π
    0.117111206054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.367915704583931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46656984} λ = 0.46656984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367915704583931))-π/2
    2×atan(1.44472025054622)-π/2
    2×0.965341012833659-π/2
    1.93068202566732-1.57079632675     		φ = 0.35988570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46656984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.732483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35988570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.619932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75269 KachelY 57861 0.46656984 0.35988570 26.732483 20.619932
    Oben rechts KachelX + 1 75270 KachelY 57861 0.46661778 0.35988570 26.735229 20.619932
    Unten links KachelX 75269 KachelY + 1 57862 0.46656984 0.35984083 26.732483 20.617361
    Unten rechts KachelX + 1 75270 KachelY + 1 57862 0.46661778 0.35984083 26.735229 20.617361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35988570-0.35984083) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35988570-0.35984083) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46656984-0.46661778) × cos(0.35988570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935937082509203 × 6371000     		do = 285.859276018627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46656984-0.46661778) × cos(0.35984083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935952883311894 × 6371000     		du = 285.864101990481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35988570)-sin(0.35984083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935937082509203-0.935952883311894)×R²
    abs(0.46661778-0.46656984)×1.58008026907019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58008026907019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58008026907019e-05×40589641000000     		ar = 81718.3577162077m²