Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75268 / 78308
↖ ↑ ↗
← S 33.073131°
E 26.729736°		 ← 255.89 m → S 33.073131°
E 26.732483°		 →
↑
255.92 m
↓
↑
255.92 m
↓
S 33.075433°
E 26.729736°		 ← 255.88 m →
65 486 m²		 S 33.075433°
E 26.732483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574253082275391 y=0.597446441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574253082275391 × 217)
    floor (0.574253082275391 × 131072)
    floor (75268.5)     		tx = 75268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597446441650391 × 217)
    floor (0.597446441650391 × 131072)
    floor (78308.5)     		ty = 78308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75268 / 78308 ti = "17/75268/78308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75268/78308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75268 ÷ 217
    75268 ÷ 131072     		x = 0.574249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78308 ÷ 217
    78308 ÷ 131072     		y = 0.597442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.19488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.612250081947357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46652191} λ = 0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612250081947357))-π/2
    2×atan(0.542129659518937)-π/2
    2×0.496780648937986-π/2
    0.993561297875971-1.57079632675     		φ = -0.57723503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57723503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.073131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75268 KachelY 78308 0.46652191 -0.57723503 26.729736 -33.073131
    Oben rechts KachelX + 1 75269 KachelY 78308 0.46656984 -0.57723503 26.732483 -33.073131
    Unten links KachelX 75268 KachelY + 1 78309 0.46652191 -0.57727520 26.729736 -33.075433
    Unten rechts KachelX + 1 75269 KachelY + 1 78309 0.46656984 -0.57727520 26.732483 -33.075433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57723503--0.57727520) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dl = 255.923070000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57723503--0.57727520) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dr = 255.923070000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46652191-0.46656984) × cos(-0.57723503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837974720327818 × 6371000     		do = 255.885661688141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46652191-0.46656984) × cos(-0.57727520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837952798519164 × 6371000     		du = 255.87896760015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57723503)-sin(-0.57727520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837974720327818-0.837952798519164)×R²
    abs(0.46656984-0.46652191)×2.19218086535689e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19218086535689e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19218086535689e-05×40589641000000     		ar = 65486.1875313855m²