Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75268 / 57860
↖ ↑ ↗
← N 20.622502°
E 26.729736°		 ← 285.79 m → N 20.622502°
E 26.732483°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.619932°
E 26.729736°		 ← 285.80 m →
81 682 m²		 N 20.619932°
E 26.732483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574253082275391 y=0.441440582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574253082275391 × 217)
    floor (0.574253082275391 × 131072)
    floor (75268.5)     		tx = 75268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441440582275391 × 217)
    floor (0.441440582275391 × 131072)
    floor (57860.5)     		ty = 57860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75268 / 57860 ti = "17/75268/57860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75268/57860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75268 ÷ 217
    75268 ÷ 131072     		x = 0.574249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57860 ÷ 217
    57860 ÷ 131072     		y = 0.441436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    0.11712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.367963641483551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46652191} λ = 0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367963641483551))-π/2
    2×atan(1.44478950761583)-π/2
    2×0.965363445605295-π/2
    1.93072689121059-1.57079632675     		φ = 0.35993056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35993056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.622502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75268 KachelY 57860 0.46652191 0.35993056 26.729736 20.622502
    Oben rechts KachelX + 1 75269 KachelY 57860 0.46656984 0.35993056 26.732483 20.622502
    Unten links KachelX 75268 KachelY + 1 57861 0.46652191 0.35988570 26.729736 20.619932
    Unten rechts KachelX + 1 75269 KachelY + 1 57861 0.46656984 0.35988570 26.732483 20.619932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35993056-0.35988570) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35993056-0.35988570) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46652191-0.46656984) × cos(0.35993056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935921283344267 × 6371000     		do = 285.794823002386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46652191-0.46656984) × cos(0.35988570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935937082509203 × 6371000     		du = 285.799647467463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35993056)-sin(0.35988570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935921283344267-0.935937082509203)×R²
    abs(0.46656984-0.46652191)×1.57991649361033e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57991649361033e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57991649361033e-05×40589641000000     		ar = 81681.7243833514m²