Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75267 / 78305
↖ ↑ ↗
← S 33.066226°
E 26.726990°		 ← 255.96 m → S 33.066226°
E 26.729736°		 →
↑
255.99 m
↓
↑
255.99 m
↓
S 33.068528°
E 26.726990°		 ← 255.95 m →
65 521 m²		 S 33.068528°
E 26.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574245452880859 y=0.597423553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574245452880859 × 217)
    floor (0.574245452880859 × 131072)
    floor (75267.5)     		tx = 75267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597423553466797 × 217)
    floor (0.597423553466797 × 131072)
    floor (78305.5)     		ty = 78305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75267 / 78305 ti = "17/75267/78305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75267/78305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75267 ÷ 217
    75267 ÷ 131072     		x = 0.574241638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78305 ÷ 217
    78305 ÷ 131072     		y = 0.597419738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574241638183594 × 2 - 1) × π
    0.148483276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46647397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597419738769531 × 2 - 1) × π
    -0.194839477539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.612106271248497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46647397} λ = 0.46647397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612106271248497))-π/2
    2×atan(0.542207629170446)-π/2
    2×0.496840906167388-π/2
    0.993681812334775-1.57079632675     		φ = -0.57711451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46647397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.726990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57711451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.066226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75267 KachelY 78305 0.46647397 -0.57711451 26.726990 -33.066226
    Oben rechts KachelX + 1 75268 KachelY 78305 0.46652191 -0.57711451 26.729736 -33.066226
    Unten links KachelX 75267 KachelY + 1 78306 0.46647397 -0.57715469 26.726990 -33.068528
    Unten rechts KachelX + 1 75268 KachelY + 1 78306 0.46652191 -0.57715469 26.729736 -33.068528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57711451--0.57715469) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dl = 255.986779999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57711451--0.57715469) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dr = 255.986779999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46647397-0.46652191) × cos(-0.57711451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838040483096636 × 6371000     		do = 255.95913469958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46647397-0.46652191) × cos(-0.57715469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838018559888549 × 6371000     		du = 255.952438787527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57711451)-sin(-0.57715469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838040483096636-0.838018559888549)×R²
    abs(0.46652191-0.46647397)×2.19232080874709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19232080874709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19232080874709e-05×40589641000000     		ar = 65521.2976794427m²