Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75266 / 55658
↖ ↑ ↗
← N 26.170229°
E 26.724243°		 ← 274.12 m → N 26.170229°
E 26.726990°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 26.167764°
E 26.724243°		 ← 274.12 m →
75 131 m²		 N 26.167764°
E 26.726990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574237823486328 y=0.424640655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574237823486328 × 217)
    floor (0.574237823486328 × 131072)
    floor (75266.5)     		tx = 75266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424640655517578 × 217)
    floor (0.424640655517578 × 131072)
    floor (55658.5)     		ty = 55658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75266 / 55658 ti = "17/75266/55658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75266/55658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75266 ÷ 217
    75266 ÷ 131072     		x = 0.574234008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55658 ÷ 217
    55658 ÷ 131072     		y = 0.424636840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574234008789062 × 2 - 1) × π
    0.148468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46642603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424636840820312 × 2 - 1) × π
    0.150726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.473520694446915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46642603} λ = 0.46642603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473520694446915))-π/2
    2×atan(1.60563721173159)-π/2
    2×1.01377649483115-π/2
    2.02755298966231-1.57079632675     		φ = 0.45675666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46642603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.724243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45675666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.170229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75266 KachelY 55658 0.46642603 0.45675666 26.724243 26.170229
    Oben rechts KachelX + 1 75267 KachelY 55658 0.46647397 0.45675666 26.726990 26.170229
    Unten links KachelX 75266 KachelY + 1 55659 0.46642603 0.45671364 26.724243 26.167764
    Unten rechts KachelX + 1 75267 KachelY + 1 55659 0.46647397 0.45671364 26.726990 26.167764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45675666-0.45671364) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dl = 274.08042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45675666-0.45671364) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dr = 274.08042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46642603-0.46647397) × cos(0.45675666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897487656756433 × 6371000     		do = 274.115831705837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46642603-0.46647397) × cos(0.45671364) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897506629448408 × 6371000     		du = 274.121626454324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45675666)-sin(0.45671364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897487656756433-0.897506629448408)×R²
    abs(0.46647397-0.46642603)×1.89726919748168e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89726919748168e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89726919748168e-05×40589641000000     		ar = 75130.576407737m²