Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75265 / 59905
↖ ↑ ↗
← N 15.281536°
E 26.721497°		 ← 294.57 m → N 15.281536°
E 26.724243°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.278886°
E 26.721497°		 ← 294.57 m →
86 778 m²		 N 15.278886°
E 26.724243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574230194091797 y=0.457042694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574230194091797 × 217)
    floor (0.574230194091797 × 131072)
    floor (75265.5)     		tx = 75265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457042694091797 × 217)
    floor (0.457042694091797 × 131072)
    floor (59905.5)     		ty = 59905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75265 / 59905 ti = "17/75265/59905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75265/59905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75265 ÷ 217
    75265 ÷ 131072     		x = 0.574226379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59905 ÷ 217
    59905 ÷ 131072     		y = 0.457038879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574226379394531 × 2 - 1) × π
    0.148452758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46637810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457038879394531 × 2 - 1) × π
    0.0859222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269932681760536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46637810} λ = 0.46637810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269932681760536))-π/2
    2×atan(1.30987626920081)-π/2
    2×0.918754719419193-π/2
    1.83750943883839-1.57079632675     		φ = 0.26671311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46637810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.721497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26671311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.281536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75265 KachelY 59905 0.46637810 0.26671311 26.721497 15.281536
    Oben rechts KachelX + 1 75266 KachelY 59905 0.46642603 0.26671311 26.724243 15.281536
    Unten links KachelX 75265 KachelY + 1 59906 0.46637810 0.26666687 26.721497 15.278886
    Unten rechts KachelX + 1 75266 KachelY + 1 59906 0.46642603 0.26666687 26.724243 15.278886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26671311-0.26666687) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dl = 294.595039999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26671311-0.26666687) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dr = 294.595039999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46637810-0.46642603) × cos(0.26671311) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.96464240556416 × 6371000     		do = 294.565163186994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46637810-0.46642603) × cos(0.26666687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.964654591648674 × 6371000     		du = 294.568884354499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26671311)-sin(0.26666687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96464240556416-0.964654591648674)×R²
    abs(0.46642603-0.46637810)×1.2186084514032e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.2186084514032e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.2186084514032e-05×40589641000000     		ar = 86777.9841657909m²