Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75264 / 59904
↖ ↑ ↗
← N 15.284185°
E 26.718750°		 ← 294.62 m → N 15.284185°
E 26.721497°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.281536°
E 26.718750°		 ← 294.63 m →
86 795 m²		 N 15.281536°
E 26.721497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574222564697266 y=0.457035064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574222564697266 × 217)
    floor (0.574222564697266 × 131072)
    floor (75264.5)     		tx = 75264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457035064697266 × 217)
    floor (0.457035064697266 × 131072)
    floor (59904.5)     		ty = 59904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75264 / 59904 ti = "17/75264/59904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75264/59904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75264 ÷ 217
    75264 ÷ 131072     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59904 ÷ 217
    59904 ÷ 131072     		y = 0.45703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45703125 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269980618660156))-π/2
    2×atan(1.30993906211308)-π/2
    2×0.918777840256196-π/2
    1.83755568051239-1.57079632675     		φ = 0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75264 KachelY 59904 0.46633016 0.26675935 26.718750 15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 75265 KachelY 59904 0.46637810 0.26675935 26.721497 15.284185
    Unten links KachelX 75264 KachelY + 1 59905 0.46633016 0.26671311 26.718750 15.281536
    Unten rechts KachelX + 1 75265 KachelY + 1 59905 0.46637810 0.26671311 26.721497 15.281536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26675935-0.26671311) × R
    4.62400000000307e-05 × 6371000     		dl = 294.595040000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26675935-0.26671311) × R
    4.62400000000307e-05 × 6371000     		dr = 294.595040000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46637810) × cos(0.26675935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 294.622897981129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46637810) × cos(0.26671311) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.96464240556416 × 6371000     		du = 294.626620554962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26675935)-sin(0.26671311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.96464240556416)×R²
    abs(0.46637810-0.46633016)×1.21881470522833e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.21881470522833e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.21881470522833e-05×40589641000000     		ar = 86794.9927570633m²