Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75259 / 78315
↖ ↑ ↗
← S 33.089240°
E 26.705017°		 ← 255.84 m → S 33.089240°
E 26.707764°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
S 33.091541°
E 26.705017°		 ← 255.83 m →
65 458 m²		 S 33.091541°
E 26.707764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574184417724609 y=0.597499847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574184417724609 × 217)
    floor (0.574184417724609 × 131072)
    floor (75259.5)     		tx = 75259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597499847412109 × 217)
    floor (0.597499847412109 × 131072)
    floor (78315.5)     		ty = 78315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75259 / 78315 ti = "17/75259/78315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75259/78315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75259 ÷ 217
    75259 ÷ 131072     		x = 0.574180603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78315 ÷ 217
    78315 ÷ 131072     		y = 0.597496032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574180603027344 × 2 - 1) × π
    0.148361206054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46609048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597496032714844 × 2 - 1) × π
    -0.194992065429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.612585640244698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46609048} λ = 0.46609048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612585640244698))-π/2
    2×atan(0.541947773931767)-π/2
    2×0.496640067126422-π/2
    0.993280134252844-1.57079632675     		φ = -0.57751619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46609048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.705017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57751619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.089240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75259 KachelY 78315 0.46609048 -0.57751619 26.705017 -33.089240
    Oben rechts KachelX + 1 75260 KachelY 78315 0.46613841 -0.57751619 26.707764 -33.089240
    Unten links KachelX 75259 KachelY + 1 78316 0.46609048 -0.57755635 26.705017 -33.091541
    Unten rechts KachelX + 1 75260 KachelY + 1 78316 0.46613841 -0.57755635 26.707764 -33.091541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57751619--0.57755635) × R
    4.01600000000668e-05 × 6371000     		dl = 255.859360000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57751619--0.57755635) × R
    4.01600000000668e-05 × 6371000     		dr = 255.859360000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46609048-0.46613841) × cos(-0.57751619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837821255651778 × 6371000     		do = 255.838799403133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46609048-0.46613841) × cos(-0.57755635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837799329839646 × 6371000     		du = 255.832104092631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57751619)-sin(-0.57755635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837821255651778-0.837799329839646)×R²
    abs(0.46613841-0.46609048)×2.19258121321175e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19258121321175e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19258121321175e-05×40589641000000     		ar = 65457.8949582823m²