Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75258 / 55770
↖ ↑ ↗
← N 25.893820°
E 26.702271°		 ← 274.76 m → N 25.893820°
E 26.705017°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.891350°
E 26.702271°		 ← 274.77 m →
75 483 m²		 N 25.891350°
E 26.705017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574176788330078 y=0.425495147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574176788330078 × 217)
    floor (0.574176788330078 × 131072)
    floor (75258.5)     		tx = 75258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425495147705078 × 217)
    floor (0.425495147705078 × 131072)
    floor (55770.5)     		ty = 55770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75258 / 55770 ti = "17/75258/55770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75258/55770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75258 ÷ 217
    75258 ÷ 131072     		x = 0.574172973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55770 ÷ 217
    55770 ÷ 131072     		y = 0.425491333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574172973632812 × 2 - 1) × π
    0.148345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46604254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425491333007812 × 2 - 1) × π
    0.149017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.468151761689468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46604254} λ = 0.46604254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468151761689468))-π/2
    2×atan(1.59703975374796)-π/2
    2×1.01136437401681-π/2
    2.02272874803363-1.57079632675     		φ = 0.45193242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46604254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.702271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45193242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.893820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75258 KachelY 55770 0.46604254 0.45193242 26.702271 25.893820
    Oben rechts KachelX + 1 75259 KachelY 55770 0.46609048 0.45193242 26.705017 25.893820
    Unten links KachelX 75258 KachelY + 1 55771 0.46604254 0.45188930 26.702271 25.891350
    Unten rechts KachelX + 1 75259 KachelY + 1 55771 0.46609048 0.45188930 26.705017 25.891350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45193242-0.45188930) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45193242-0.45188930) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46604254-0.46609048) × cos(0.45193242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89960488553293 × 6371000     		do = 274.76248787133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46604254-0.46609048) × cos(0.45188930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899623715405967 × 6371000     		du = 274.768238999237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45193242)-sin(0.45188930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89960488553293-0.899623715405967)×R²
    abs(0.46609048-0.46604254)×1.88298730365855e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88298730365855e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88298730365855e-05×40589641000000     		ar = 75482.8592365602m²