Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75257 / 55786
↖ ↑ ↗
← N 25.854280°
E 26.699524°		 ← 274.85 m → N 25.854280°
E 26.702271°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.851809°
E 26.699524°		 ← 274.86 m →
75 543 m²		 N 25.851809°
E 26.702271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574169158935547 y=0.425617218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574169158935547 × 217)
    floor (0.574169158935547 × 131072)
    floor (75257.5)     		tx = 75257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425617218017578 × 217)
    floor (0.425617218017578 × 131072)
    floor (55786.5)     		ty = 55786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75257 / 55786 ti = "17/75257/55786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75257/55786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75257 ÷ 217
    75257 ÷ 131072     		x = 0.574165344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55786 ÷ 217
    55786 ÷ 131072     		y = 0.425613403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574165344238281 × 2 - 1) × π
    0.148330688476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46599460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425613403320312 × 2 - 1) × π
    0.148773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.467384771295548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46599460} λ = 0.46599460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467384771295548))-π/2
    2×atan(1.59581530922675)-π/2
    2×1.01101932210758-π/2
    2.02203864421516-1.57079632675     		φ = 0.45124232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46599460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.699524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45124232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.854280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75257 KachelY 55786 0.46599460 0.45124232 26.699524 25.854280
    Oben rechts KachelX + 1 75258 KachelY 55786 0.46604254 0.45124232 26.702271 25.854280
    Unten links KachelX 75257 KachelY + 1 55787 0.46599460 0.45119918 26.699524 25.851809
    Unten rechts KachelX + 1 75258 KachelY + 1 55787 0.46604254 0.45119918 26.702271 25.851809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45124232-0.45119918) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45124232-0.45119918) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46599460-0.46604254) × cos(0.45124232) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899906041252864 × 6371000     		do = 274.854468580265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46599460-0.46604254) × cos(0.45119918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899924853072396 × 6371000     		du = 274.860214194166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45124232)-sin(0.45119918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899906041252864-0.899924853072396)×R²
    abs(0.46604254-0.46599460)×1.88118195320053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88118195320053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88118195320053e-05×40589641000000     		ar = 75543.1495138232m²