Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75256 / 78314
↖ ↑ ↗
← S 33.086939°
E 26.696777°		 ← 255.90 m → S 33.086939°
E 26.699524°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
S 33.089240°
E 26.696777°		 ← 255.89 m →
65 473 m²		 S 33.089240°
E 26.699524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574161529541016 y=0.597492218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574161529541016 × 217)
    floor (0.574161529541016 × 131072)
    floor (75256.5)     		tx = 75256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597492218017578 × 217)
    floor (0.597492218017578 × 131072)
    floor (78314.5)     		ty = 78314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75256 / 78314 ti = "17/75256/78314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75256/78314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75256 ÷ 217
    75256 ÷ 131072     		x = 0.57415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78314 ÷ 217
    78314 ÷ 131072     		y = 0.597488403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    0.1483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46594666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.194976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.612537703345078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46594666} λ = 0.46594666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612537703345078))-π/2
    2×atan(0.541973753850499)-π/2
    2×0.496660148665874-π/2
    0.993320297331748-1.57079632675     		φ = -0.57747603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46594666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57747603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.086939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75256 KachelY 78314 0.46594666 -0.57747603 26.696777 -33.086939
    Oben rechts KachelX + 1 75257 KachelY 78314 0.46599460 -0.57747603 26.699524 -33.086939
    Unten links KachelX 75256 KachelY + 1 78315 0.46594666 -0.57751619 26.696777 -33.089240
    Unten rechts KachelX + 1 75257 KachelY + 1 78315 0.46599460 -0.57751619 26.699524 -33.089240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57747603--0.57751619) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57747603--0.57751619) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46594666-0.46599460) × cos(-0.57747603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837843180112651 × 6371000     		do = 255.898873289692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46594666-0.46599460) × cos(-0.57751619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837821255651778 × 6371000     		du = 255.892176995006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57747603)-sin(-0.57751619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837843180112651-0.837821255651778)×R²
    abs(0.46599460-0.46594666)×2.19244608725688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19244608725688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19244608725688e-05×40589641000000     		ar = 65473.2652984638m²