Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75255 / 55769
↖ ↑ ↗
← N 25.896291°
E 26.694031°		 ← 274.70 m → N 25.896291°
E 26.696777°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.893820°
E 26.694031°		 ← 274.71 m →
75 483 m²		 N 25.893820°
E 26.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574153900146484 y=0.425487518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574153900146484 × 217)
    floor (0.574153900146484 × 131072)
    floor (75255.5)     		tx = 75255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425487518310547 × 217)
    floor (0.425487518310547 × 131072)
    floor (55769.5)     		ty = 55769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75255 / 55769 ti = "17/75255/55769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75255/55769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75255 ÷ 217
    75255 ÷ 131072     		x = 0.574150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55769 ÷ 217
    55769 ÷ 131072     		y = 0.425483703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574150085449219 × 2 - 1) × π
    0.148300170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46589873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425483703613281 × 2 - 1) × π
    0.149032592773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.468199698589088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46589873} λ = 0.46589873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468199698589088))-π/2
    2×atan(1.59711631271731)-π/2
    2×1.01138593592565-π/2
    2.0227718718513-1.57079632675     		φ = 0.45197555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46589873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.694031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45197555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.896291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75255 KachelY 55769 0.46589873 0.45197555 26.694031 25.896291
    Oben rechts KachelX + 1 75256 KachelY 55769 0.46594666 0.45197555 26.696777 25.896291
    Unten links KachelX 75255 KachelY + 1 55770 0.46589873 0.45193242 26.694031 25.893820
    Unten rechts KachelX + 1 75256 KachelY + 1 55770 0.46594666 0.45193242 26.696777 25.893820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45197555-0.45193242) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45197555-0.45193242) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46589873-0.46594666) × cos(0.45197555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.899586049619792 × 6371000     		do = 274.699422271749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46589873-0.46594666) × cos(0.45193242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89960488553293 × 6371000     		du = 274.705174044421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45197555)-sin(0.45193242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899586049619792-0.89960488553293)×R²
    abs(0.46594666-0.46589873)×1.88359131384486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88359131384486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88359131384486e-05×40589641000000     		ar = 75483.0353833646m²